Seções Cônicas: Caracterização e Gráfico de Parábolas, Elipses e Hipérboles
Resumo:
Nesta aula, revisaremos as seções cônicas (parábolas, elipses e hipérboles), começando por suas equações canônicas e gerais. Explicamos como identificar e caracterizar cada curva, focando em elementos-chave como o vértice, foco e eixo de simetria nas parábolas, e a distinção entre elipses e hipérboles de acordo com os sinais de seus coeficientes.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Reconhecer as equações canônicas das seções cônicas (parábolas, elipses, hipérboles)
- Calcular cada uma das características das seções cônicas: comprimento dos semi-eixos, distância focal, diretriz, etc.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Seções cônicas
Revisão das Parábolas
Revisão das Elipses e Hipérboles
Caracterização da elipse
Caracterização da hipérbole
Exercícios Resolvidos
Seções cônicas
Chamamos de seções cônicas todas as curvas que resultam da interseção da superfície de um cone com um plano. A família das seções cônicas é composta por circunferências, elipses e hipérboles, todas curvas que já estudamos.
Agora faremos uma revisão das técnicas para reconhecer e caracterizar cada uma dessas curvas. Vamos nos concentrar especialmente nas formas canônicas, pois são as mais frequentes e as que menos revelam informações de forma explícita. As equações gerais, por outro lado, revelam quase toda a caracterização geométrica.
Revisão das Parábolas
Toda parábola é representada por uma equação da forma
y=ax^2 + bx + c, com a\neq 0
Em termos disso, obtivemos:
- Coordenadas do Vértice: \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
- Posição Focal: \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
- Coordenadas do Foco: \displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
- Equação da Diretriz: \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
- Equação do Eixo de Simetria: \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
- Interseções com o eixo x (se existirem): \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Com isso, já temos todas as informações necessárias para traçar o gráfico de qualquer parábola.
Revisão das Elipses e Hipérboles
As elipses e hipérboles, como vimos, têm uma expressão canônica da forma.
Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0
Onde A e C são constantes diferentes de zero, e a partir do que estudamos, temos que:
- Se A e C tiverem o mesmo sinal, é uma elipse.
- Se A e C tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.
Para separar claramente os dois casos, escreveremos que:
- \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 é uma elipse.
- \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 é uma hipérbole.
Sendo \alpha, \beta, \gamma, \delta e \epsilon números reais quaisquer e \alpha e \gamma sempre positivos. Escrever desta forma nos permite separar claramente os dois casos. A partir disso, podemos fazer as seguintes inferências:
Caracterização da Elipse
Partindo da equação canônica, temos a seguinte dedução:
| (1) | \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; equação canônica das elipses. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; fatorando e reagrupando termos |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; completando quadrados e reagrupando termos |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; dividindo tudo por \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; rearranjando \alpha e \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; reestruturando com raízes |
No desenvolvimento desta dedução, o passo (3) é particularmente delicado, pois se o coeficiente \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon for negativo, então a elipse não pode existir.
Lembre-se de que a equação geral das elipses é da forma
\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1
Com este último resultado, agora temos uma relação direta entre os parâmetros da fórmula geral que nos permite revelar todas as informações escondidas na expressão canônica:
- Coordenadas do centro: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Comprimento do semi-eixo horizontal: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Comprimento do semi-eixo vertical: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Com isso, já é possível reconhecer e traçar uma elipse diretamente a partir de sua forma canônica. Seu gráfico será o seguinte:
Caracterização da Hipérbole
Raciocinando de maneira completamente análoga, você pode, a partir da equação canônica, fazer a caracterização completa das hipérboles. Na verdade, a análise é tão análoga que vou copiar e colar a análise das elipses e apenas modificar algumas partes.
| (1) | \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; equação canônica das hipérboles. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; fatorando e reagrupando termos |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; completando quadrados e reagrupando termos |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; dividindo tudo por \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; rearranjando os termos \alpha e \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; reestruturando com raízes |
A partir disso, agora temos uma relação direta entre a equação canônica e a equação das hipérboles que nos permitirá confeccionar rapidamente seu gráfico.
\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1
Agora, ao contrário do que se faz com as elipses, aqui é mais correto falar de “caixa geradora” como veremos na figura a seguir:
- Coordenadas do centro: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Comprimento do semi-eixo horizontal: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Comprimento do semi-eixo vertical: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Com os resultados dessas análises, já podemos traçar o gráfico de qualquer membro da família das seções cônicas sem nenhuma dificuldade especial.