المقاطع المخروطية: تحديد ورسم القطوع المكافئة، الإهليجية والزائدية

ملخص:
في هذا الدرس، سنراجع المقاطع المخروطية (القطوع المكافئة، الإهليجية والزائدية)، بدءًا من معادلاتها القياسية والعامة. سنشرح كيفية التعرف على كل منحنى وتحديد خصائصه، مع التركيز على العناصر الأساسية مثل القمة، البؤرة والمحور المتماثل في القطوع المكافئة، وكذلك الفرق بين القطوع الإهليجية والزائدية بناءً على إشارات معاملات كل منهما.

أهداف التعلم:
في نهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:

التعرف على المعادلات القياسية للمقاطع المخروطية (القطوع المكافئة، الإهليجية، الزائدية)
حساب خصائص كل مقطع مخروطي: طول أنصاف المحاور، المسافة البؤرية، الدليل، إلخ.

فهرس المحتويات
المقاطع المخروطية
مراجعة القطوع المكافئة
مراجعة القطوع الإهليجية والزائدية
تحديد القطع الإهليجي
تحديد القطع الزائدي
تمارين محلولة

المقاطع المخروطية

تُعرف المقاطع المخروطية بأنها جميع المنحنيات الناتجة عن تقاطع سطح مخروط مع مستوى. تتكون عائلة المقاطع المخروطية من الدوائر والقطوع الإهليجية، والقطوع الزائدية، وهي منحنيات درسناها سابقًا.

الآن سنراجع التقنيات التي تساعدنا في التعرف على هذه المنحنيات وتحديد خصائصها. سنركز بشكل خاص على الأشكال القياسية لأنها الأكثر شيوعًا وتقدم أقل قدر من المعلومات بشكل صريح. على النقيض، تكشف المعادلات العامة تقريبًا عن جميع الخصائص الهندسية.

مراجعة القطوع المكافئة

يُعبر عن أي قطع مكافئ بمعادلة على الشكل التالي:

$y=ax^2 + bx + c,$ حيث $a\neq 0$

واستنادًا إلى هذه المعادلة، حصلنا على:

إحداثيات القمة: $\displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)$
المسافة البؤرية: $\displaystyle f=\dfrac{1}{4a}$
إحداثيات البؤرة: $\displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)$
معادلة الدليل: $\displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}$
معادلة المحور المتماثل: $\displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}$
نقاط التقاطع مع محور x (إن وجدت): $\displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

وباستخدام هذه المعلومات، لدينا الآن جميع البيانات اللازمة لرسم أي قطع مكافئ.

مراجعة القطوع الإهليجية والزائدية

القطوع الإهليجية والزائدية، كما رأينا، لها تعبير قياسي على النحو التالي:

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

حيث أن $A$ و $C$ هما ثوابت غير صفرية، ومن خلال ما درسناه، نجد أن:

إذا كان $A$ و $C$ لهما نفس الإشارة، فهذا قطع إهليجي.
إذا كان $A$ و $C$ لهما إشارات متعاكسة، فهذا قطع زائد.

لتوضيح الفرق بين الحالتين، نكتب ما يلي:

$\alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$ هو قطع إهليجي.
$\alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$ هو قطع زائد.

حيث أن $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ و $\epsilon$ هي أعداد حقيقية، و $\alpha$ و $\gamma$ دائمًا موجبتان. كتابة المعادلة بهذه الطريقة تسمح لنا بالتفريق بوضوح بين الحالتين. بناءً على ذلك، يمكننا استنتاج الآتي:

تحديد القطع الإهليجي

انطلاقًا من المعادلة القياسية، نستنتج التالي:

(1)	$\alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$	; المعادلة القياسية للقطوع الإهليجية.
(2)	$\displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon$	; تجميع وتوزيع الحدود
(3)	$\displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$	; إتمام المربعات وإعادة ترتيب الحدود
(4)	$\displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; قسمة جميع الحدود على $\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$
(5)	$\displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; إعادة ترتيب $\alpha$ و $\gamma$
(6)	$\displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1$	; إعادة ترتيب الحدود باستخدام الجذور التربيعية

في خطوة (3) من هذه الاستنتاجات، يجب الانتباه جيدًا، لأن القيم السالبة للمعامل $\displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$ تعني أن القطع الإهليجي لا يمكن أن يوجد.

نذكّر أن المعادلة العامة للقطوع الإهليجية تأخذ الشكل التالي:

$\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1$

بناءً على هذا الاستنتاج الأخير، أصبح لدينا الآن علاقة مباشرة بين معاملات الصيغة العامة التي تسمح لنا بالكشف عن جميع المعلومات المخفية في المعادلة القياسية:

إحداثيات المركز: $\displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)$
طول نصف المحور الأفقي: $\displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$
طول نصف المحور الرأسي: $\displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$

بهذه المعلومات، أصبح بإمكاننا التعرف ورسم أي قطع إهليجي مباشرة من شكله القياسي. سيبدو رسمه على النحو التالي:

تحديد القطع الزائدي

من خلال تفكير مشابه تمامًا، يمكنك تحديد جميع خصائص القطوع الزائدية بدءًا من المعادلة القياسية. في الواقع، التحليل مشابه جدًا بحيث يمكنني نسخ ولصق تحليل القطوع الإهليجية، مع تعديل بعض الأجزاء فقط.

(1)	$\alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$	; المعادلة القياسية للقطوع الزائدية.
(2)	$\displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon$	; تجميع وتوزيع الحدود
(3)	$\displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$	; إتمام المربعات وإعادة ترتيب الحدود
(4)	$\displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; قسمة جميع الحدود على $\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$
(5)	$\displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; إعادة ترتيب $\alpha$ و $\gamma$
(6)	$\displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1$	; إعادة ترتيب الحدود باستخدام الجذور التربيعية

من خلال هذه الاستنتاجات، أصبح لدينا الآن علاقة مباشرة بين المعادلة القياسية ومعادلة القطوع الزائدية، مما يسمح لنا برسم منحنى لها بسهولة.

$\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1$

على عكس القطوع الإهليجية، يُفضل هنا استخدام مصطلح “المربع المولد”، كما هو موضح في الشكل التالي:

إحداثيات المركز: $\displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)$
طول نصف المحور الأفقي: $\displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$
طول نصف المحور الرأسي: $\displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$

مع نتائج هذه التحليلات، يمكننا الآن رسم أي عضو من عائلة المقاطع المخروطية بسهولة.

تمارين محلولة