El Ensayo de Bernoulli y la Distribución Binomial
Resumen
En esta clase estudiaremos el concepto de los ensayos de Bernoulli y sus implicaciones en la teoría de las probabilidades. Iniciamos con una definición detallada de los ensayos de Bernoulli para luego abordar el concepto de independencia entre eventos. Tras aclarar estas ideas, se aplica el teorema del binomio para entender cómo la repetición de un ensayo de Bernoulli producen resultados con distribución binomial. Finalmente, se proponen ejercicios prácticos para aplicar y reforzar estos conceptos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de:
- Identificar las características principales de los ensayos de Bernoulli, incluyendo la independencia entre los intentos.
- Aplicar correctamente la notación para los eventos binomiales derivados de los ensayos de Bernoulli.
- Distinguir entre distintas formas de independencia (2-independencia, 3-independencia, n-independencia) y comprender su relación y aplicación en los ensayos de Bernoulli.
- Comprender la relación entre el ensayo de Bernoulli y el teorema del binomio, y cómo esta relación puede ser utilizada para calcular la probabilidad de una serie de éxitos y fracasos.
- Aplicar la distribución binomial (o de Bernoulli) para calcular la probabilidad de un cierto número de éxitos en una serie de intentos.
INDICE DE CONTENIDOS:
El ensayo de Bernoulli
Distintas formas de independencia
El ensayo de Bernoulli y el teorema del binomio
La distribución binomial (o de Bernoulli) y las distribuciones de Probabilidad
Ejercicios:
El ensayo de Bernoulli
Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio dicotómico con una cierta probabilidad de exito p. Si un ensayo Bernoulli se repite n veces de forma idéntica e independiente, entonces se obtienen los eventos de Bernoulli: Cierto número k de éxitos entre n intentos. Estos también reciben el nombre de eventos binomial y lo representamos a través de la notación
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
Otra característica importante de los ensayos de Bernoulli es que todos los intentos son independientes entre si.
EJEMPLO: Se lanza repetidas veces un dado de 6 caras. Ejemplos de eventos de tipo Bernoulli para este experimento son:
- Obtener 3 ases entre 5 intentos: representado por Bi(5;3;1/6)
- Obtener 7 números pares entre 12 intentos: representado por Bi(12;7;1/3)
Distintas formas de independencia
La independencia entre los intentos desarrollados en el ensayo Bernoulli no es precisamente la misma independencia que ya hemos revisado, se trata de una versión mucho más restringida. Para explicar esta diferencia examinemos los tipos de independencia entre eventos
2-independencia
La independencia que ya conocemos es la que se da entre dos eventos, La llamamos «2-independencia». En estos términos decimos que los eventos A y B son 2-independientes si
P(A\cap B) = P(A)P(B)
3-independencia
De forma análoga, se define la 3-independencia entre tres eventos A, B y C a través de la relación
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
Es importante destacar que la 2-independencia entre A, B y C no implica necesariamente la 3-independencia, aunque en el caso inverso la implicancia si es cierta.
La n-independencia entre los ensayos de Bernoulli
Procediendo de forma análoga al las definiciones anteriores, se define la n-independencia entre una colección de eventos A_1, \cdots, A_n a través de la relación
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
Y de forma análoga se tiene que:
| (n-1)-independencia no implica necesariamente n-independencia |
| n-independencia \Longrightarrow (n-1)-independencia |
Las n repeticiones realizadas en el ensayo de Bernoulli son n-independientes.
El ensayo de Bernoulli y el teorema del binomio
Consideremos un experimento de éxito y fracaso con probabilidad de éxito de p; en cada intento se tendrá, en consecuencia, una probabilidad 1-p de fracaso. Es claro que la probabilidad de que ocurra un éxito o un fracaso entre cada intento es 1; y como todos los intentos son independientes, la probabilidad de que ocurra éxito o fracaso en los n intentos será 1^n. A partir de esto tendremos que:
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
En la última igualdad se ha aplicado el Teorema del Binomio de Newton, y los términos dentro de la sumatoria se pueden interpretar de la siguiente manera:
- \displaystyle {{n}\choose{k}}: el número de formas en que pueden ocurrir k éxitos al realizar n intentos
- p^k: La probabilidad de que ocurran k éxitos independientes
- (1-p)^{n-k}: La probabilidad de que ocurran n-k fracasos independientes
Al juntar estos elementos de la forma en que aparecen en la suma obtenemos: la probabilidad de obtener k éxitos entre n intentos; o equivalentemente, la probabilidad de obtener n-k fracasos entre n intentos.
Si separamos cada término de la suma tenemos las probabilidades de obtener:
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | 0 exitos entre n intentos |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1} | 1 exito entre n intentos |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2} | 2 exitos entre n intentos |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} | k exitos entre n intentos |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p) | n-1 éxitos entre n intentos |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n} | n éxitos entre n intentos |
Y la suma de todos estos, como ya hemos visto es «1». Mostrando que se han cubierto todas las posibilidades.
A partir de esto se define la probabilidad del evento Bernoulli:
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}
O también decimos que el número de éxitos X tiene distribución binomial:
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
La distribución binomial (o de Bernoulli) y las distribuciones de Probabilidad
A través de la distribución binomial es que comenzamos a tener las primeras nociones de las distribuciones de probabilidad y de variable aleatoria. En este caso la variable aleatoria (discreta) está asociada al número de éxitos y su distribución de probabilidad está dada por los términos del teorema del teorema del binomio
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
Ejercicios:
- Se arroja un dado de 6 caras equilibrado 5 veces. Calcule la probabilidad de obtener 3 veces un número par como resultado.
- Se arroja una moneda 10 veces. Calcule la probabilidad de obtener, de 0 a 10 caras y haga un gráfico que muestre la probabilidad para cada resultado. ¿Cómo se verá el gráfico si se aumenta el número de lanzamientos y se examina la probabilidad de obtener un número de caras que va desde 0 hasta ese número de lanzamientos? Una planilla de Excel puede ser útil aquí.
- Se tiene una tómbola con una cantidad s de bolitas, donde r son doradas y el resto blancas. Se revuelven todas y se saca una al azar, y se gana cuando sale la dorada. Si este experimento se repite de manera idéntica 20 veces, estime el número de victorias más probables para cada valor posible de 0\leq r\leq s. Una planilla en Excel también puede ser útil aquí.