Dominios de Integridad y los Números Enteros

Resumen:
En esta clase se introduce el concepto de Dominio de Integridad, se explica su relevancia en el estudio del álgebra general y se demuestran mediante pruebas formales algunas de sus propiedades más importantes.

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Objetivos de Aprendizaje:
Al concluir esta clase el estudiante será capaz de;

1. Comprender el propósito del estudio del álgebra general.
2. Comprender el concepto de dominio de integridad.
3. Explicar los aspectos básicos comunes entre los dominios de integridad y los números enteros.
4. Demostrar mediante pruebas formales las propiedades básicas de los dominios de integridad.

INDICE DE CONTENIDOS
EL OBJETIVO DEL ÁLGEBRA GENERAL Y CONOCIMIENTOS PREVIOS
DE LOS NÚMEROS ENTEROS A LOS DOMINIOS DE INTEGRIDAD
ASPECTOS BÁSICOS COMUNES A LOS DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y LOS NÚMEROS ENTEROS
PROPIEDADES DE LOS DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y LOS NÚMEROS ENTEROS
EJERCICIOS

El objetivo del álgebra general y conocimientos previos

El objetivo principal del álgebra general es estudio de toda la variedad de los sistemas matemáticos posibles. Aquí estudiaremos varios de tales sistemas, y de entre los más importantes destacan los números naturales y enteros, y a través de estos últimos llegaremos los dominios de integridad.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

De los números enteros a los dominios de integridad

Comenzaremos nuestro estudio con los números enteros, y la razón de proceder de esta manera es porque ellos cuentan con la mayor cantidad de semejanzas con la mayoría de los sistemas numéricos que revisaremos en este estudio.

En lugar de intentar definir qué son los números enteros, iniciaremos suponiendo que, sean lo que sea, satisfacen ciertas propiedades. Para esto se elige un conjunto de axiomas de modo tal que sea posible inferir todas las propiedades que intuitivamente asociamos a los enteros.

Todas estas cosas se hacen a través de los axiomas de Peano de los Naturales al introducir las operaciones básicas de la aritmética. Siguiendo este método axiomático y ampliando las distintas operaciones sobre los naturales y enteros se van obteniendo nuevos conjuntos numéricos, tales como los racionales, irracionales, reales, complejos, cuaterniones, octoniones, y un largo etc.

Luego, si observamos a los números enteros, veremos que estos tienen propiedades que se van a repetir en todos los demás conjuntos numéricos, como la existencia de un neutro multiplicativo, neutro aditivo y leyes distributivas, de modo que refiriéndonos a estas cosas podemos establecer un lenguaje que nos permita hablar de todos esos conjuntos simultáneamente. Es en este contexto en que emergen palabras como

• Dominio de Integridad
• Anillo
• Grupo
• Espacio Vectorial

Y un largo etc… de términos de este estilo. Nosotros centraremos nuestras energías en estudiar primero los Dominios de Integridad.

Aspectos básicos comunes a los dominios de integridad y los números enteros

Para explicar qué es un dominio de integridad nos valdremos de las propiedades que entendemos muy bien desde los números enteros. En ese contexto tenemos que si a,b y c son números enteros, entonces se cumplen las leyes

1. Conmutativas:
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. Asociativas:
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. Distributivas:
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

Además de esto, existen ciertos elementos especiales conocidos como neutros

• Neutro aditivo: a+ c = a \leftrightarrow c=0
• Neutro multiplicativo: ac = a \leftrightarrow c=1

El objeto cuyo símbolo es 0 es el neutro aditivo, y al que le corresponde el símbolo 1 es el neutro multiplicativo.

Los enteros también poseen inversos aditivos. A cada entero le corresponde un inverso aditivo que al sumarse con él proporciona el neutro aditivo.

• Inverso aditivo: a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

Los inversos aditivos se reconocen por el signo «-» que les acompaña.

Y finalmente, existe una ley de simplificación que se expresa a través de la relación

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

Estas propiedades que hemos revisado funcionan para muchos otros conjuntos: reales, complejos, polinomios, etc. De modo que llamamos Dominio de Integridad a todos los conjuntos que satisfacen estas propiedades.

DEFINICIÓN: Un Dominio de integridad es cualquier conjunto D provisto de una operación de suma y producto tales que

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

Y además se satisfacen las leyes asociativas, conmutativas y distributiva, D contiene neutros aditivos y multiplicativos (cada uno de estos son únicos) y finalmente, vale la ley de simplificación.

Ejemplo de Dominio de Integridad

Consideremos el conjunto A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. Este conjunto provisto de las operaciones de suma y producto usuales es un dominio de integridad porque satisface las leyes de conmutatividad, asociatividad y distribución, tiene neutro aditivo y multiplicativo y finalmente un inverso aditivo.

• Neutro aditivo: 0+0\sqrt{3}
• Neutro multiplicativo: 1+0\sqrt{3}
• Inverso aditivo: Todo elemento a+b\sqrt{3} tiene inverso aditivo -a-b\sqrt{3}

Y lo más importante de todo. Este conjunto A es cerrado para las operaciones de suma y producto, en el sentido de que si tomamos x,y\in A entonces se tendrá que x+y\in A y xy\in A. Esto es facil de corroborar: Si a_1 + b_1\sqrt{3} y a_2 + b_2\sqrt{3} son elementos de A, entonces se tendrá que

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

Propiedades de los Dominios de Integridad y los Números Enteros

El neutro aditivo de un dominio de integridad es único

Esto se puede demostrar a través de reducción al absurdo: Supongamos que existen dos neutros aditivos, sean 0 y 0^\prime tales neutros. Entonces se tendrá que:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; Premisa}\\ (2) & a+0 = a & \text{; Premisa: $0$ es neutro aditivo}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; Premisa: $0^\prime$ es neutro aditivo}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; Sustituyendo $a=0^\prime$ en $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; Sustituyendo $b=0$ en $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; De$(4,5)$ y conmutatividad de la suma}\\ (7) & \bot &\text{; De$(1,6)$} \end{array}

A partir de este razonamiento concluimos que, por lo tanto:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

Luego, por reducción al absurdo se tiene

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

Es decir, si hay dos neutros aditivos, entonces son el mismo, y por lo tanto es único.

El neutro multiplicativo también es único

La demostración es prácticamente análoga a la anterior. Si existieran dos: 1 y 1^\prime, entonces se podría hacer el siguiente razonamiento:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; Premisa}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; Premisa: $0$ es neutro aditivo}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; Premisa: $0^\prime$ es neutro aditivo}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; Sustituyendo $a=0^\prime$ en $(2)$}\\ (5) & 1\prime \cdot 1 = 1 & \text{; Sustituyendo $b=0$ en $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; De$(4,5)$ y conmutatividad de la suma}\\ (7) & \bot &\text{; De$(1,6)$} \end{array}

Por lo que llegamos a que, por lo tanto:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

Luego, por reducción al absurdo se tiene que

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

Es decir, si hay dos neutros multiplicativos, entonces son el mismo, y por lo tanto es único.

Vale la ley de simplificación para las sumas

Esto es lo que hacemos cuando eliminamos términos en una igualdad

a+b = a+c \longleftrightarrow a = c

No es difícil demostrar esta situación, basta con hacer el siguiente razonamiento:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; Premisa} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; De$(1)$, sumando $-a$ a ambos lados} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; De$(2)$, conmutatividad y asociatividad} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo} \\ (5) & b = c & \text{; De$(4)$ y Neutro Aditivo} \\ \end{array}

Como este razonamiento se puede hacer de ida y de vuelta aplicando los mismos pasos, se tiene que

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

Que es equivalente a decir que

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

El neutro aditivo es, a su vez, un absorbente multiplicativo

Con esto simplemente se quiere decir que, para todo a en el dominio de integridad se cumplirá que

a\cdot 0 = 0

Esto también es fácil de demostrar, basta con seguir el siguiente razonamiento:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; Leyes distributivas}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; De$(2)$ y Distributividad}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; De$(3)$ y Simplificación de sumas}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; De$(4)$ e Inverso Aditivo}\\ \end{array}

Ley de los signos:

El producto de cantidades de igual signo siempre es positiva; el producto de cantidades con signos opuestos siempre es negativa. La demostración de esta propiedad también es sencilla:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; Neutro Aditivo}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; De$(2)$ e Inverso Aditivo}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; De$(4)$ e Absorvente multiplicativo}\\ \end{array}

Por lo tanto: ab = (-a)(-b)

Para los signos opuestos la cosa es similar:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; Neutro Aditivo} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; De$(2)$ y Distributividad} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; De$(4)$ e Absorvente Multiplicativo} \\ \end{array}

Por lo tanto: a(-b) = -a(b)

Si el producto de dos números es cero, por lo menos uno de ellos es cero

Otra propiedad que también se usa bastante es la siguiente:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

Su demostración también es sencilla

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; Absorvente Multiplicativo} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; Analogo$(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-int$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; Absorvende Multiplicativo}\\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD(10)}\\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def(11)}\\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN(12)}\\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD(13)}\\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; De(9,14)} \end{array}

Ejercicios

Sean a, b y c elementos cualesquiera de un dominio de integridad D. Demuestre que se cumplen las siguientes propiedades

1. (-a)=(-1)a [SOLUCIÓN]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [SOLUCIÓN]
3. a(-b)=-(ab) [SOLUCIÓN]
4. -(-a)=a [SOLUCIÓN]
5. a(b-c) = ab - ac [PROPUESTO]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [PROPUESTO]
7. Para todos los a\in D existe un único [lat ex]1[/latex] tal que a\cdot 1 = a [SOLUCIÓN]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [PROPUESTO]