Equilibrio térmico, temperatura y su definición estadística
La temperatura termodinámica, entendida como la conexión entre energía y probabilidad, surge del equilibrio entre macroestados y microestados en sistemas térmicos. Este contenido explora cómo la maximización del número de microestados define el equilibrio térmico, utilizando deducciones matemáticas y el marco de la mecánica estadística para explicar su relación con la constante de Boltzmann y la escala Kelvin.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de
- Comprender la relación entre macroestados y microestados en sistemas termodinámicos y el concepto de temperatura.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Macroestados y microestados de sistemas puestos en contacto térmico
Temperatura termodinámica: La cualidad común de los sistemas en equilibrio
Macroestados y microestados de sistemas puestos en contacto térmico
Para abordar el concepto de temperatura termodinámica debemos ver primero cómo interactuan los sistemas termodinámicos y su relación con los micro y macroestados. Consideremos el caso de dos sistemas puestos en contacto térmico entre si, pero aislados del resto del universo.
Por un lado, dado que los sistemas permanecen aislados, la energía total E=E_1+E_2 será constante, y por esto el macroestado del sistema queda definido por cualquiera de las tres energías E, E_1 y E_2. Por otro lado, si hablamos de los microestados, el sistema de energía E_1 tiene \Omega_1(E_1) microestados, y análogamente el de energía E_2 tiene otros \Omega_2(E_2), así que el sistema compuesto queda formado por un total de \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) microestados.
Presunciones sobre el equilibrio termodinámico
Si cada sistema puede intercambiar energía hasta lograr el equilibrio térmodinámico, en algún momento ocurrirá que E_1 y E_2, se aproximarán a valores constantes. La idea que debemos tener en mente en este momento es que el macroestado con mayor probabilidad de ocurrir será el que maximice el número de microestados, y a partir de esto se siguen las siguientes presunciones:
- Cada uno de los microestados tiene la misma probabilidad de ocurrir
- La dinámica interna del sistema es tal que los microestados estan en continuo cambio.
- Luego de cierto tiempo, el sistema explorará todos los microestados posibles y pasará la misma cantidad de tiempo en cada uno de ellos
Estas presunciones implican que el sistema pasará la mayor parte del tiempo en los macroestados que representan al mayor número de microestados, y por tanto serán los más probables. Ahora, en los sistemas que normalmente se estudian en termodinámica, la expresión «mas probable» en realidad quiere decir «la que sería practica y malditamente imposible no ocurriese»; lo que pareciera ser una simple afirmación estadística es en realidad una declaración casi absoluta de certeza.
Temperatura termodinámica: La cualidad común de los sistemas en equilibrio
Para nuestro problema de los dos cuerpos puestos en contacto térmico, la distribución más probable de la energía es aquella que maximiza el número \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) de microestados. Como los sistemas son enormes, podemos utilizar como una buena aproximación las herramientas del cálculo diferencial para hacer inferencias sobre el significado de estas afirmaciones y deducir sus propiedades.
Si hacemos variaciones infinitesimal sobre la energía de uno de los sistemas y buscamos el caso en que se maximiza el número de microestados, entonces obtendremos el siguiente razonamiento:
\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; Porque se ha maximizado el número de microestados} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; Aplicando derivada del producto y regla de la cadena} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{Constante} \\ & \text{; Energía total de los dos sitemas en contacto térmico} \\ \\ \equiv & E_1 = E-E_1 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; De (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; De (1) y (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}
De aquí tenemos que, dado que el equilibrio térmico es el macroestado más probable que tienen dos cuerpos en contacto térmico prolongado, este es el que maximiza el número de microestados. Si esto ocurre, del razonamiento que se acaba de realizar, se tiene que existe una magnitud común ambos sistemas y que llamamos temperatura.
Definición de la temperatura termodinámica
Cuando ocurre esto, decimos que los cuerpos «están a la misma temperatura» y relacionamos d\ln\Omega/dE con la temperatura T (de modo que T_1 = T_2). Así, la temperatura termodinámica queda definida como
\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}
donde k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] es la constante de Boltzmann.
Con esta elección de constantes se logra que la temperatura T que hemos definido adquiera su interpretación usual en lo que conocemos como escala Kelvin.