Thermisches Gleichgewicht, Temperatur und ihre statistische Definition
Die thermodynamische Temperatur, verstanden als die Verbindung zwischen Energie und Wahrscheinlichkeit, entsteht aus dem Gleichgewicht zwischen Makrozuständen und Mikrozuständen in thermischen Systemen. Dieser Inhalt untersucht, wie die Maximierung der Anzahl von Mikrozuständen das thermische Gleichgewicht definiert, wobei mathematische Ableitungen und der Rahmen der statistischen Mechanik verwendet werden, um den Zusammenhang mit der Boltzmann-Konstanten und der Kelvin-Skala zu erklären.
Lernziele:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,
- Zu verstehen die Beziehung zwischen Makrozuständen und Mikrozuständen in thermodynamischen Systemen sowie das Konzept der Temperatur.
INHALTSVERZEICHNIS:
Makrozustände und Mikrozustände von Systemen im thermischen Kontakt
Thermodynamische Temperatur: Die gemeinsame Eigenschaft von Systemen im Gleichgewicht
Makrozustände und Mikrozustände von Systemen im thermischen Kontakt
Um den Begriff der thermodynamischen Temperatur zu behandeln müssen wir zunächst sehen, wie thermodynamische Systeme interagieren und wie sie sich auf Mikro- und Makrozustände beziehen. Betrachten wir den Fall von zwei Systemen, die miteinander in thermischen Kontakt gebracht, aber vom Rest des Universums isoliert sind.
Einerseits, da die Systeme isoliert bleiben, wird die Gesamtenergie E=E_1+E_2 konstant sein, und daher wird der Makrozustand des Systems durch eine der drei Energien E, E_1 und E_2 definiert. Andererseits, wenn wir über die Mikrozustände sprechen, hat das System mit der Energie E_1 \Omega_1(E_1) Mikrozustände, und analog dazu hat das mit der Energie E_2 \Omega_2(E_2) andere, sodass das zusammengesetzte System aus insgesamt \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) Mikrozuständen besteht.
Annahmen über das thermodynamische Gleichgewicht
Wenn jedes System Energie austauschen kann, bis es das thermodynamische Gleichgewicht erreicht, wird irgendwann eintreten, dass E_1 und E_2 sich konstanten Werten annähern. Die Idee, die wir uns in diesem Moment vor Augen halten müssen, ist, dass der Makrozustand mit der höchsten Wahrscheinlichkeit derjenige sein wird, der die Anzahl der Mikrozustände maximiert, und daraus ergeben sich die folgenden Annahmen:
- Jeder einzelne Mikrozustand hat die gleiche Wahrscheinlichkeit aufzutreten
- Die innere Dynamik des Systems ist so beschaffen, dass sich die Mikrozustände ständig verändern.
- Nach einer gewissen Zeit wird das System alle möglichen Mikrozustände durchlaufen und die gleiche Zeitspanne in jedem einzelnen von ihnen verbringen
Diese Annahmen implizieren, dass das System die meiste Zeit in den Makrozuständen verweilen wird, die die größte Anzahl von Mikrozuständen repräsentieren, und daher die wahrscheinlichsten sind. Nun bedeutet in den Systemen, die normalerweise in der Thermodynamik untersucht werden, der Ausdruck „wahrscheinlichster“ in Wirklichkeit „praktisch und verdammt unmöglich nicht einzutreten“; was wie eine einfache statistische Aussage erscheint, ist in Wirklichkeit eine fast absolute Gewissheitserklärung.
Thermodynamische Temperatur: Die gemeinsame Eigenschaft von Systemen im Gleichgewicht
Für unser Problem der beiden Körper, die in thermischen Kontakt gebracht werden, ist die wahrscheinlichste Energieverteilung diejenige, die die Anzahl \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) der Mikrozustände maximiert. Da die Systeme riesig sind, können wir als gute Näherung die Werkzeuge der Differentialrechnung verwenden, um Rückschlüsse auf die Bedeutung dieser Aussagen zu ziehen und ihre Eigenschaften abzuleiten.
Wenn wir infinitesimale Variationen der Energie eines der Systeme durchführen und den Fall betrachten, in dem die Anzahl der Mikrozustände maximiert wird, dann erhalten wir die folgende Überlegung:
\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; Weil die Anzahl der Mikrozustände maximiert wurde} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; Anwendung der Produktregel und der Kettenregel} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{Konstant} \\ & \text{; Gesamtenergie der beiden Systeme im thermischen Kontakt} \\ \\ \equiv & E_1 = E-E_1 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; Aus (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; Aus (1) und (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}
Daraus ergibt sich, dass das thermische Gleichgewicht, da es der wahrscheinlichste Makrozustand ist, den zwei Körper im anhaltenden thermischen Kontakt haben, derjenige ist, der die Anzahl der Mikrozustände maximiert. Wenn dies geschieht, folgt aus der soeben angestellten Überlegung, dass es eine gemeinsame Größe beider Systeme gibt, die wir Temperatur nennen.
Definition der thermodynamischen Temperatur
Wenn dies geschieht, sagen wir, dass die Körper „die gleiche Temperatur haben“ und wir bringen d\ln\Omega/dE mit der Temperatur T in Beziehung (so dass T_1 = T_2). Somit wird die thermodynamische Temperatur definiert als
\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}
wobei k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] die Boltzmann-Konstante ist.
Mit dieser Wahl der Konstanten wird erreicht, dass die Temperatur T, die wir definiert haben, ihre übliche Interpretation in dem, was wir als Kelvin-Skala kennen, erhält.