Integritätsbereiche und die ganzen Zahlen

Zusammenfassung:
In dieser Lektion wird das Konzept des Integritätsbereichs eingeführt, seine Relevanz im Studium der allgemeinen Algebra erläutert und einige seiner wichtigsten Eigenschaften durch formale Beweise demonstriert.

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Lernziele:
Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:

1. Den Zweck des Studiums der allgemeinen Algebra zu verstehen.
2. Das Konzept des Integritätsbereichs zu verstehen.
3. Die grundlegenden gemeinsamen Aspekte zwischen Integritätsbereichen und ganzen Zahlen zu erklären.
4. Die grundlegenden Eigenschaften von Integritätsbereichen durch formale Beweise zu demonstrieren.

INHALTSVERZEICHNIS
DAS ZIEL DER ALLGEMEINEN ALGEBRA UND VORAUSGESETZTE KENNTNISSE
VON DEN GANZEN ZAHLEN ZU DEN INTEGRITÄTSBEREICHEN
GRUNDLEGEND GEMEINSAME ASPEKTE VON INTEGRITÄTSBEREICHEN UND GANZEN ZAHLEN
EIGENSCHAFTEN DER INTEGRITÄTSBEREICHE UND DER GANZEN ZAHLEN
ÜBUNGEN

Das Ziel der allgemeinen Algebra und vorausgesetzte Kenntnisse

Das Hauptziel der allgemeinen Algebra ist das Studium der gesamten Vielfalt möglicher mathematischer Systeme. Hier werden wir verschiedene solcher Systeme untersuchen, wobei die natürlichen und ganzen Zahlen zu den wichtigsten gehören, und über letztere gelangen wir zu den Integritätsbereichen.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

Von den ganzen Zahlen zu den Integritätsbereichen

Wir beginnen unser Studium mit den ganzen Zahlen, und der Grund dafür ist, dass sie die meisten Gemeinsamkeiten mit den Zahlensystemen aufweisen, die wir in diesem Kurs betrachten werden.

Anstatt zu versuchen, die ganzen Zahlen zu definieren, nehmen wir zunächst an, dass sie – was immer sie auch seien – bestimmte Eigenschaften erfüllen. Zu diesem Zweck wählt man ein Axiomensystem so, dass alle Eigenschaften, die wir intuitiv mit den ganzen Zahlen verbinden, daraus ableitbar sind.

All dies wird mit Hilfe der Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen durchgeführt, indem man die Grundoperationen der Arithmetik einführt. Indem man diesem axiomatischen Verfahren folgt und die Operationen auf den natürlichen und ganzen Zahlen erweitert, erhält man nach und nach neue Zahlensysteme wie die rationalen, irrationalen, reellen, komplexen Zahlen, Quaternionen, Oktonionen und viele weitere.

Wenn wir dann die ganzen Zahlen betrachten, sehen wir, dass sie Eigenschaften besitzen, die sich in vielen anderen Zahlensystemen wiederholen, wie etwa die Existenz eines multiplikativen und additiven neutralen Elements sowie distributive Gesetze. Wenn wir uns auf solche Eigenschaften beziehen, können wir eine gemeinsame Sprache entwickeln, die es uns ermöglicht, über all diese Systeme gleichzeitig zu sprechen. In diesem Zusammenhang entstehen Begriffe wie

• Integritätsbereich
• Ring
• Gruppe
• Vektorraum

und viele weitere ähnliche Begriffe. Wir werden unsere Aufmerksamkeit zunächst auf das Studium der Integritätsbereiche richten.

Grundlegende gemeinsame Aspekte der Integritätsbereiche und der ganzen Zahlen

Um zu erklären, was ein Integritätsbereich ist, bedienen wir uns der Eigenschaften, die wir sehr gut von den ganzen Zahlen kennen. In diesem Zusammenhang gilt, dass wenn a, b und c ganze Zahlen sind, dann gelten die folgenden Gesetze:

1. Kommutativgesetze:
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. Assoziativgesetze:
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. Distributivgesetz:
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

Darüber hinaus existieren spezielle Elemente, die als neutrale Elemente bekannt sind:

• Additiv neutrales Element: a+ c = a \leftrightarrow c=0
• Multiplikativ neutrales Element: ac = a \leftrightarrow c=1

Das Objekt mit dem Symbol 0 ist das additive neutrale Element, während das Symbol 1 dem multiplikativen neutralen Element entspricht.

Die ganzen Zahlen besitzen ebenfalls additive Inverse. Zu jeder ganzen Zahl existiert ein additives Inverses, das zusammen mit ihr das additive neutrale Element ergibt.

• Additives Inverses: a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

Die additiven Inversen erkennt man am Minuszeichen vor der Zahl.

Und schließlich gibt es ein Vereinfachungsgesetz, das durch die folgende Beziehung ausgedrückt wird:

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

Diese überprüften Eigenschaften gelten auch für viele andere Mengen: reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Polynome usw. Daher nennen wir alle Mengen, die diese Eigenschaften erfüllen, einen Integritätsbereich.

DEFINITION: Ein Integritätsbereich ist jede Menge D, die mit einer Addition und Multiplikation ausgestattet ist, sodass

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

Und außerdem gelten die assoziativen, kommutativen und distributiven Gesetze, D enthält additive und multiplikative neutrale Elemente (jeweils eindeutig), und schließlich gilt das Vereinfachungsgesetz.

Beispiel eines Integritätsbereichs

Betrachten wir die Menge A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. Diese Menge, versehen mit den üblichen Additions- und Multiplikationsoperationen, ist ein Integritätsbereich, da sie die Gesetze der Kommutativität, Assoziativität und Distributivität erfüllt, ein additives und multiplikatives neutrales Element sowie ein additives Inverses besitzt.

• Additives neutrales Element: 0+0\sqrt{3}
• Multiplikatives neutrales Element: 1+0\sqrt{3}
• Additives Inverses: Jedes Element a+b\sqrt{3} hat ein additives Inverses -a-b\sqrt{3}

Und das Wichtigste von allem: Diese Menge A ist unter Addition und Multiplikation abgeschlossen, im Sinne davon, dass wenn x,y\in A, dann gilt x+y\in A und xy\in A. Dies lässt sich leicht überprüfen: Wenn a_1 + b_1\sqrt{3} und a_2 + b_2\sqrt{3} Elemente von A sind, dann gilt:

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

Eigenschaften der Integritätsbereiche und der ganzen Zahlen

Das additive neutrale Element eines Integritätsbereichs ist eindeutig

Dies lässt sich durch Widerspruchsbeweis zeigen: Angenommen, es existieren zwei additive neutrale Elemente, sei 0 und 0^\prime solche Elemente. Dann gilt:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; Annahme}\\ (2) & a+0 = a & \text{; Annahme: $0$ ist additives neutrales Element}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; Annahme: $0^\prime$ ist additives neutrales Element}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; Einsetzen von $a=0^\prime$ in $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; Einsetzen von $b=0$ in $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; Aus $(4,5)$ und der Kommutativität der Addition}\\ (7) & \bot &\text{; Aus $(1,6)$} \end{array}

Aus diesem Gedankengang schließen wir daher:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

Dann erhält man durch Widerspruchsbeweis:

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

Das heißt: Wenn es zwei additive neutrale Elemente gibt, dann sind sie identisch – also eindeutig.

Das multiplikative neutrale Element ist ebenfalls eindeutig

Der Beweis ist praktisch identisch mit dem vorherigen. Wenn es zwei gäbe: 1 und 1^\prime, dann könnte man folgenden Gedankengang aufstellen:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; Annahme}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; Annahme: $1$ ist multiplikatives neutrales Element}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; Annahme: $1^\prime$ ist multiplikatives neutrales Element}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; Einsetzen von $a=1^\prime$ in $(2)$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; Einsetzen von $b=1$ in $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; Aus $(4,5)$ und der Kommutativität der Multiplikation}\\ (7) & \bot &\text{; Aus $(1,6)$} \end{array}

Also kommen wir zu dem Schluss:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

Daraus folgt durch Reduktion zum Absurden:

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

Mit anderen Worten: Wenn es zwei multiplikative neutrale Elemente gibt, dann sind sie gleich – also eindeutig.

Das Vereinfachungsgesetz für Summen gilt

Das ist genau das, was wir tun, wenn wir Terme in einer Gleichung kürzen:

a+b = a+c \longleftrightarrow b = c

Es ist nicht schwierig, dies zu beweisen. Man kann folgenden Gedankengang aufstellen:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; Annahme} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; Aus $(1)$, Subtraktion von $a$ auf beiden Seiten} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; Aus $(2)$, Kommutativität und Assoziativität} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; Aus $(3)$ und dem additiven Inversen} \\ (5) & b = c & \text{; Aus $(4)$ und dem additiven neutralen Element} \\ \end{array}

Da dieser Gedankengang sowohl vorwärts als auch rückwärts mit denselben Schritten durchgeführt werden kann, gilt:

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

Was gleichbedeutend ist mit:

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

Das additive neutrale Element ist zugleich ein multiplikativ absorbierendes Element

Das bedeutet einfach nur, dass für jedes a im Integritätsbereich gilt:

a\cdot 0 = 0

Auch dies lässt sich leicht beweisen, man folgt einfach diesem Gedankengang:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; Distributivgesetze}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; Aus $(1)$ und dem additiven Inversen}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; Aus $(2)$ und Distributivität}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; Aus $(3)$ und Vereinfachung der Summen}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; Aus $(4)$ und additivem Inversen}\\ \end{array}

Vorzeichenregel:

Das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist stets positiv; das Produkt zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen ist stets negativ. Auch dieser Beweis ist einfach:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; Additives Neutrum}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; Aus $(1)$ und additivem Inversen}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; Aus $(2)$ und additivem Inversen}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; Aus $(3)$ und additivem Inversen}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; Aus $(4)$ und multiplikativ absorbierendem Element}\\ \end{array}

Daher gilt: ab = (-a)(-b)

Für entgegengesetzte Vorzeichen ergibt sich ein ähnliches Ergebnis:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; Additives Neutrum} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; Aus $(1)$ und additivem Inversen} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; Aus $(2)$ und Distributivität} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; Aus $(3)$ und additivem Inversen} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; Aus $(4)$ und multiplikativ absorbierendem Element} \\ \end{array}

Daher gilt: a(-b) = -a(b)

Wenn das Produkt zweier Zahlen null ist, dann ist mindestens eine davon null

Eine weitere Eigenschaft, die oft verwendet wird, ist die folgende:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

Auch dieser Beweis ist einfach:

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; Multiplikativ absorbierend} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; Analog zu $(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-Einführung $(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD$(6)$} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI$(7)$} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM$(8)$} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; Multiplikativ absorbierend} \\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD$(10)$} \\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def$(11)$} \\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN$(12)$} \\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD$(13)$} \\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; Aus $(9,14)$} \end{array}

Übungen

Seien a, b und c beliebige Elemente eines Integritätsbereichs D. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

1. (-a)=(-1)a [LÖSUNG]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [LÖSUNG]
3. a(-b)=-(ab) [LÖSUNG]
4. -(-a)=a [LÖSUNG]
5. a(b-c) = ab - ac [VORGESCHLAGEN]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [VORGESCHLAGEN]
7. Für alle a\in D existiert ein eindeutiges 1, sodass a\cdot 1 = a [LÖSUNG]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [VORGESCHLAGEN]