Kegelschnitte: Charakterisierung und Darstellung von Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln
Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtseinheit behandeln wir die Kegelschnitte (Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln), beginnend mit ihren kanonischen und allgemeinen Gleichungen. Es wird erklärt, wie jede Kurve identifiziert und charakterisiert wird, mit einem besonderen Fokus auf Schlüsselelemente wie Scheitelpunkt, Brennpunkt und Symmetrieachse bei Parabeln sowie auf die Unterscheidung zwischen Ellipsen und Hyperbeln anhand der Vorzeichen ihrer Koeffizienten.
Lernziele:
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Student in der Lage sein,
- Die kanonischen Gleichungen der Kegelschnitte (Parabeln, Ellipsen, Hyperbeln) zu erkennen
- Jede der Eigenschaften der Kegelschnitte zu berechnen: Halbachsenlängen, Brennweite, Leitlinie usw.
INHALTSVERZEICHNIS
Kegelschnitte
Überblick über Parabeln
Überblick über Ellipsen und Hyperbeln
Charakterisierung der Ellipse
Charakterisierung der Hyperbel
Gelöste Aufgaben
Kegelschnitte
Als Kegelschnitte bezeichnet man alle Kurven, die durch das Schneiden einer Kegeloberfläche mit einer Ebene entstehen. Zur Familie der Kegelschnitte gehören Kreise und Ellipsen sowie Hyperbeln – alles Kurven, die wir bereits kennengelernt haben.
Nun machen wir eine Wiederholung der Techniken zur Erkennung und Charakterisierung jeder dieser Kurven. Wir konzentrieren uns insbesondere auf die kanonischen Formen, da diese am häufigsten vorkommen und explizit am wenigsten Informationen preisgeben. Die allgemeinen Gleichungen hingegen offenbaren von sich aus fast die gesamte geometrische Charakterisierung.
Überblick über Parabeln
Jede Parabel wird dargestellt durch eine Gleichung der Form
y=ax^2 + bx + c, wobei a\neq 0
In diesem Zusammenhang erhalten wir:
- Koordinaten des Scheitelpunkts: \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
- Brennweite: \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
- Koordinaten des Brennpunkts: \displaystyle Fokus=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
- Gleichung der Leitlinie: \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
- Gleichung der Symmetrieachse: \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
- Schnittpunkte mit der x-Achse (falls vorhanden): \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Damit verfügen wir über alle notwendigen Informationen, um eine beliebige Parabel zu zeichnen.
Überblick über Ellipsen und Hyperbeln
Ellipsen und Hyperbeln haben, wie wir gesehen haben, eine kanonische Gleichung der Form:
Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0
Dabei sind A und C von null verschiedene Konstanten, und gemäß dem, was wir gelernt haben, gilt:
- A und C haben dasselbe Vorzeichen, dann handelt es sich um eine Ellipse.
- A und C haben entgegengesetzte Vorzeichen, dann handelt es sich um eine Hyperbel.
Um beide Fälle klar zu trennen, schreiben wir:
- \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 ist eine Ellipse.
- \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 ist eine Hyperbel.
Dabei sind \alpha, \beta, \gamma, \delta und \epsilon beliebige reelle Zahlen, wobei \alpha und \gamma stets positiv sind. Diese Schreibweise ermöglicht es, beide Fälle klar zu unterscheiden. Daraus lassen sich die folgenden Folgerungen ableiten:
Charakterisierung der Ellipse
Ausgehend von der kanonischen Gleichung ergibt sich folgende Herleitung:
| (1) | \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; kanonische Gleichung der Ellipsen. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; Ausklammern und Umgruppieren der Terme |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; quadratische Ergänzung und Umgruppierung |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; Division durch \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; Umordnung von \alpha und \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; Umformung mit Wurzeln |
Im Verlauf dieser Herleitung ist insbesondere Schritt (3) heikel, da der Koeffizient \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon negativ sein könnte – in diesem Fall existiert die Ellipse nicht.
Erinnern wir uns daran, dass die allgemeine Gleichung der Ellipsen folgende Form hat:
\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1
Mit diesem letzten Ergebnis haben wir nun eine direkte Beziehung zwischen den Parametern der allgemeinen Formel, die es uns erlaubt, alle Informationen aus dem kanonischen Ausdruck zu erschließen:
- Koordinaten des Zentrums: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Länge der horizontalen Halbachse: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Länge der vertikalen Halbachse: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Damit ist es nun möglich, eine Ellipse direkt aus ihrer kanonischen Form zu erkennen und zu zeichnen. Ihre Darstellung sieht wie folgt aus:
Charakterisierung der Hyperbel
In ganz analoger Weise kann man aus der kanonischen Gleichung die vollständige Charakterisierung der Hyperbeln ableiten. Tatsächlich ist die Analyse so ähnlich, dass ich die Analyse der Ellipsen kopiere und nur einige Teile anpasse.
| (1) | \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; kanonische Gleichung der Hyperbeln. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; Ausklammern und Umgruppieren der Terme |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; quadratische Ergänzung und Umgruppierung |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; Division durch \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; Umordnung der Terme \alpha und \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; Umformung mit Wurzeln |
Daraus ergibt sich nun ein direkter Zusammenhang zwischen der kanonischen Gleichung und der Gleichung der Hyperbeln, die es uns ermöglicht, deren Graphen schnell zu erstellen.
\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1
Im Unterschied zu den Ellipsen ist es hier jedoch korrekter, von einer „generierenden Box“ zu sprechen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:
- Koordinaten des Zentrums: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Länge der horizontalen Halbachse: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Länge der vertikalen Halbachse: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Mit den Ergebnissen dieser Analysen können wir nun jedes Mitglied der Familie der Kegelschnitte ohne besondere Schwierigkeiten grafisch darstellen.