定理与证明 · Topos Uranos

摘要

本课讲解如何把命题和证明排成声明过的环境，而不是手写的粗体。它说明声明它们有什么好处（编号、引用、一致性，以及只需改一行就能更换的样式）；介绍 amsthm 宏包及其命令 \newtheorem，包括不编号的形式、共享计数器与独立计数器的区别、在节或章内编号，并推出论文适合哪种编号、书籍适合哪种编号；按照命题的功能区分 \theoremstyle 的三种样式；展示为结果加上名称或出处的可选参数；研究 proof 环境、它的中文标题、它的结束符号，以及 \qedhere 所纠正的缺陷；讲解如何用 cleveref 引用命题，并检验在没有为它声明名称时它会写出什么，其中包括共享计数器的一个值得了解的行为；简要介绍 \newtheoremstyle 和 thmtools；展示这些环境在数学之外的用法；最后讲解常见错误及其日志。

学习目标

用 \newtheorem 和 \theoremstyle 声明定理、引理、定义和注记，并按照命题的功能选择样式。
在共享计数器和独立计数器之间、在连续编号和按节编号之间作出选择，并预测得到的编号。
用 proof 写证明，为它设定自己的标题，并在证明以独立公式或列表结束时，用 \qedhere 把结束符号放到正确的位置。
用 \cref 引用命题，安排导言区的顺序，使 cleveref 能正确命名它们，并诊断印出“??”或错误名称的引用。
解读声明命题时常见错误的日志，并纠正其原因。

为什么要声明命题

一篇演绎性的文本由功能各异的命题构成：定义确定一个术语的含义，定理断言一件将要证明的事，引理为定理作准备，推论由定理得出，注记加以评论而不断言任何新东西。排版传统用标题（“定理 3.”）、用便于引用的编号、用外观来区分它们。完全可以手工模仿这一切：用粗体，再加上作者自己写的编号。

LaTeX 代码

\textbf{定理 2.} 大于 2 的素数都是奇数。\textbf{引理 3.} 若 $n$ 是偶数，则 $n^2$ 是偶数。

印出来的结果可以和声明过的环境完全一样；缺陷在源文件里，而且就是交叉引用一课和宏与自己的导言区一课在别的对象上指出过的那个缺陷。如果是这样，就会带来四种损失。手写的编号在插入第一个新命题时就不再正确。没有可以加标签的对象，于是引用又变回手写的编号。外观取决于作者的记性，只要一次疏忽，就会有一个定理排得和其他定理不一样。如果期刊要求命题换一种字体，就得逐个修改。声明一个 thm 环境，就是为功能命名；它的定义只在导言区写一次，就确定了编号、标题和外观。