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Topos Uranos
中文 (中国)

反三角函数

摘要

本课构造正弦、余弦和正切的反函数。由于这些函数是周期函数，它们不是单射；要求它们的反函数，必须把它们限制在每个值只取一次的区间上：正弦限制在 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上，余弦限制在 [0,π]\icc{0}{\pi} 上，正切限制在 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上。本课由按弧长行进的公理（它断言行进点的横坐标在第一个半周中严格递减）推出余弦在 [0,π]\icc{0}{\pi} 上严格递减；由此并利用对称性，证明正弦和正切在各自的区间上严格递增，且三个限制都是双射；定义反正弦、反余弦和反正切，并把它们的图像作为关于直线 y=xy = x 的反射得到。随后证明联系它们的恒等式，仔细区分 sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x（总是成立）与 arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x（只在主值区间中成立），并在完整的一周中解方程 sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c 和 tan⁡x=c\tan x = c。

学习目标

  1. 由行进公理推出余弦和正弦在其主值区间上的严格单调性，用它证明正切的单调性，并定义三个反函数及其定义域和值域。
  2. 把反正弦、反余弦和反正切的图像作为关于直线 y=xy = x 的反射作出，并计算它们在特殊点处的值。
  3. 证明反三角函数的复合恒等式、对称恒等式与余角恒等式，并化简把三角函数与其反函数结合在一起的表达式。
  4. 利用反三角函数和单位圆的对称性，在区间 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 中解最简三角方程。

三角函数的限制

根据课程 I 中关于函数的运算的课，一个函数有反函数当且仅当它是双射，这时反函数的图像是原函数图像关于直线 y=xy = x 的反射。然而，在关于三角函数及其图像的课中研究的三角函数都不是单射：正弦和余弦的周期为 2π2\pi，正切的周期为 π\pi，因此每个值都重复无穷多次。不仅如此，在同一个周期之内值也会重复：由在关于三角比的课中证明的补角的对称性，sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x 成立。既然如此，要求这些函数的反函数，就必须把它们限制在一个区间上，使它们在其上是单射并取遍所有的值。所选的区间包含锐角，且函数在其上严格单调。

定理主值区间上的单调性

余弦在 [0,π]\icc{0}{\pi} 上严格递减；正弦在 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上严格递增，正切在 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上严格递增。

这里用到通过单位圆上的点 P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) 给出的正弦与余弦的定义（见关于三角比的课），以及在关于角及其度量的课中承认的按弧长行进的公理。余弦的单调性正是该公理的半周性质的转述；正弦和正切的单调性由它证明。

证明

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    设 α\alpha 与 β\beta 满足 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi。点 P(α)P(\alpha) 与 P(β)P(\beta) 是两条弧的终点，这两条弧的长分别为 α\alpha 与 β\beta，都从 (1,0)(1, 0) 出发按逆时针方向前进；这两点都在行进的第一个半周中，而第一个半周覆盖上半圆。

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    由公理的半周性质，在第一个半周中，行进点的横坐标严格递减：P(α)P(\alpha) 的横坐标大于 P(β)P(\beta) 的横坐标。由于按定义余弦就是 P(θ)P(\theta) 的横坐标，横坐标之间的不等式就是余弦之间的不等式。

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    现在设 −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}。它们的余角满足 π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha，并且在 [0,π]\icc{0}{\pi} 中；由余角的对称性，一个角的正弦是它的余角的余弦，又因为余弦在 [0,π]\icc{0}{\pi} 上递减，所以正弦在 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上递增。

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    对于正切，设 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}。由前面几步，0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta 且 cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0。先增大分子、再减小分母（二者都为正），商就增大。

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    正切是奇函数，因为它是奇函数正弦与偶函数余弦之商。若 −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0，则它们的相反数满足 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha，变号后，紧接在前的那一步中的不等式反向；若 α<0<β\alpha < 0 < \beta，则正切在 α\alpha 处为负，在 β\beta 处为正。所以，正切在整个区间 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上递增。

双射限制

根据关于函数的运算的课中的单调函数定理，每个严格单调函数都是单射。剩下要证明的是：每个限制都取遍其值域中的所有值。

定理双射限制

正弦限制在 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上，是到 [−1,1]\icc{-1}{1} 上的双射；余弦限制在 [0,π]\icc{0}{\pi} 上，是到 [−1,1]\icc{-1}{1} 上的双射；正切限制在 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 上，是到 R\mathbb{R} 上的双射。

单射性由上面的定理得出。每个限制都取遍它的所有值，这一点由行进公理的覆盖性质（单位圆上的每一点都是一条从 (1,0)(1, 0) 出发的弧的终点）以及“一周不重复点”的引理得出，二者都来自关于角及其度量的课。

证明

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    由上面的定理，三个限制都严格单调，而每个严格单调函数都是单射：上半圆上两个不同的角有不同的横坐标。

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    设 cc 满足 −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1。下面的点 QQ 在单位圆上；由覆盖性质以及一周不重复点，它是 P(θ)P(\theta)，这里 θ\theta 是 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 中唯一的一个。

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    QQ 的纵坐标不是负数，而根据关于三角比的课中各象限的符号，正弦在 (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi} 上为负：所以这个 θ\theta 在 [0,π]\icc{0}{\pi} 中，并且它的余弦是 cc。限制后的余弦取遍 [−1,1]\icc{-1}{1} 中的所有值。

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    由余角的对称性，π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta 的正弦是 θ\theta 的余弦，当 θ\theta 取遍 [0,π]\icc{0}{\pi} 时，它的余角取遍 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}：限制后的正弦也取遍 [−1,1]\icc{-1}{1} 中的所有值。

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    对于正切，关于三角函数及其图像的课中的正切性质定理指出，它的值域是 R\mathbb{R}：给定 mm，过原点、斜率为 mm 的直线与右半圆交于一点 P(x)P(x)，这里 xx 介于 −π2-\frac{\pi}{2} 与 π2\frac{\pi}{2} 之间。这一点也可以由周期性看出：若 tan⁡x=m\tan x = m，则从 xx 中减去 π\pi 的一个整数倍（如同化到第一周时那样），就得到该区间中正切相同的一个数。