Целые числа и их представление

Позиционные системы счисления

Урок Переменные и память представил переменную как ячейку с именем, типом и значением. Однако память хранит не десятичные цифры, а биты, каждый из которых равен 0 или 1, сгруппированные в байты по восемь битов (стандарт требует не менее восьми; все современные системы используют ровно восемь). Чтобы знать, какие значения может принимать целочисленная переменная, нужно, следовательно, знать, как записать число всего двумя цифрами, и именно это делает позиционная система счисления с основанием 2.

В позиционной системе счисления с основанием $b$ каждая цифра весит в зависимости от занимаемой позиции: последняя умножается на $b^0 = 1$, стоящая перед ней на $b^1$, стоящая перед той на $b^2$, и так для всех цифр. В десятичной системе $2026$ означает $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$. В двоичной системе цифры суть 0 и 1, а веса суть степени двойки: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$ Отсюда следует правило перевода из двоичной системы в десятичную: складываются веса позиций, где стоит 1.

Обратный путь, из десятичной системы в двоичную, проходится последовательным делением: число делят на 2, записывают остаток (0 или 1) и повторяют с частным, пока не получится 0; остатки, прочитанные от последнего к первому, и есть двоичные цифры. Для 45: $45 = 2 \cdot 22 + 1$, $22 = 2 \cdot 11 + 0$, $11 = 2 \cdot 5 + 1$, $5 = 2 \cdot 2 + 1$, $2 = 2 \cdot 1 + 0$, $1 = 2 \cdot 0 + 1$; прочитанные в обратном порядке, остатки дают 101101, что с двумя нулями слева есть комбинация с рисунка. Причина в том, что каждый остаток есть цифра единиц делимого числа, а каждое частное есть это число, сдвинутое на одну позицию вправо. Тот же метод годится для любого основания: для основания 16 делят на 16, а остатки от 10 до 15 записывают буквами от a до f.

Основание 16, или шестнадцатеричная система, существует ради удобства: так как $16 = 2^4$, каждая шестнадцатеричная цифра соответствует ровно четырём битам, и байт записывается двумя цифрами. 32-битовое число занимает тридцать две цифры в двоичной записи, которая плохо читается, и всего восемь в шестнадцатеричной, которые переводятся в двоичную запись без вычислений, цифра за цифрой. Поэтому программисты читают память в шестнадцатеричной записи. Математическое обоснование позиционных систем изучается в курсе «Алгебра и геометрия I», в уроке «Позиционные системы счисления».

C++ допускает целые числа, записанные прямо в этих системах: литерал, начинающийся с 0b, записан в двоичной системе, а начинающийся с 0x, в шестнадцатеричной. Внутри любого литерала можно поставить апостроф как разделитель разрядов, который компилятор игнорирует, а читатель ценит: 0b0010'1101, 1'000'000. При выводе спецификация формата {:b} записывает целое число в двоичной системе, {:x} в шестнадцатеричной строчными буквами, а {:X} прописными; знак # добавляет префикс, а ширина, перед которой стоит ноль, дополняет число нулями слева.

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("двоичная: {:b}", decimal);    std::println("восемь битов: {:08b}", decimal);    std::println("шестнадцатеричная: {:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45двоичная: 101101восемь битов: 00101101шестнадцатеричная: 2d 2D 0x2d