Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Уравнение прямой и декартовы системы координат

Краткое содержание

Этот урок знакомит с координатной плоскостью, которая сопоставляет каждой точке пару чисел, а вместе с ней с расстоянием между двумя точками и серединой отрезка. В нём определяется угловой коэффициент прямой, доказывается, что он не зависит от выбранных точек, и выводятся виды уравнения прямой, включая вертикальные прямые. Затем изучаются параллельные и перпендикулярные прямые, а также пересечение двух прямых как решение системы уравнений, с приложениями к задачам о величинах, которые изменяются линейно.

Цели обучения

  1. Изображать точки на координатной плоскости и вычислять расстояния и середины отрезков.
  2. Вычислять угловой коэффициент прямой и находить её уравнение по точке и угловому коэффициенту или по двум точкам.
  3. Распознавать параллельные и перпендикулярные прямые по их угловым коэффициентам.
  4. Находить пересечение двух прямых, решая систему уравнений, и моделировать с помощью прямых линейные зависимости между величинами.

Координатная плоскость

Действительные числа изображаются точками прямой: выбирается точка в качестве начала, единица длины и положительное направление. Идея Ферма и Декарта, в том виде, который она приняла после них, состоит в том, чтобы взять две такие прямые, перпендикулярные и с общим началом, и изображать с их помощью точки плоскости: каждой точке PP соответствует упорядоченная пара (x,y)(x, y) её проекций на горизонтальную и вертикальную оси, а каждой упорядоченной паре соответствует единственная точка. Числа xx и yy называются координатами точки PP, и оси делят плоскость на четыре координатные четверти.

С помощью координат геометрические задачи превращаются в алгебраические: кривые на плоскости описываются уравнениями, связывающими xx и yy. В этом и состоит идея аналитической геометрии.

Принимаемые факты евклидовой геометрии

Аналитическая геометрия не заменяет геометрию Евклида, а переводит её на другой язык: фигуры, о которых она говорит, это фигуры элементарной геометрии, и некоторые теоремы этой геометрии служат отправной точкой. Их доказательство относится к аксиоматическому построению евклидовой геометрии, которое в этом курсе не излагается. Поэтому факты этой геометрии, которыми пользуется раздел, собраны в приведённом ниже списке и принимаются без доказательства; всякий раз, когда урок раздела опирается на один из них, он ссылается на этот список.

  1. Прямые и оси. Через две различные точки проходит единственная прямая. Координатные оси можно выбирать свободно: любые две перпендикулярные прямые, с их общей точкой в качестве начала, положительным направлением на каждой и одной и той же единицей длины на обеих, образуют систему осей, и расстояния, углы и фигуры от этого выбора не зависят.
  2. Теорема Пифагора и обратная к ней. Треугольник является прямоугольным с прямым углом при некоторой вершине тогда и только тогда, когда квадрат стороны, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов двух других сторон.
  3. Параллельные. Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной; и если две параллельные прямые пересечены третьей, то соответственные углы, которые она образует с ними, равны.
  4. Теорема Фалеса и подобие. Если несколько параллельных прямых пересекают две прямые, то отрезки, которые они отсекают на одной из них, пропорциональны отрезкам, которые они отсекают на другой; и два треугольника, углы которых соответственно равны, имеют пропорциональные стороны.
  5. Углы треугольника. Сумма трёх углов треугольника равна двум прямым углам; в частности, оба непрямых угла прямоугольного треугольника острые, а угол, смежный с острым, тупой.
  6. Равнобедренный треугольник. В треугольнике с двумя равными сторонами углы, противолежащие этим сторонам, равны.

Первая свобода используется чаще всего: чтобы изучить кривую, удобно расположить оси так, чтобы её уравнение было как можно проще, например поместить вершину параболы в начало координат, и первый факт гарантирует, что при этом общность не теряется.

Расстояние и середина отрезка

Расстояние между двумя точками P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) и P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) находится по теореме Пифагора, второму из принимаемых фактов: соединяющий их отрезок есть гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого, параллельные осям, равны модулю разности абсцисс и модулю разности ординат (если одна из двух разностей равна нулю, отрезок параллелен одной из осей и его длина равна модулю другой разности, что и даёт формула).

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов. Мы формулируем это как лемму, потому что она понадобится для серединного перпендикуляра, для метода симметрии в изучении парабол и для конических сечений.

ЛеммаСередина отрезка

Серединой отрезка с концами P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) и P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) является точка MM, указанная ниже, и каждая из двух половин равна половине расстояния d(P1,P2)d(P_1, P_2).

M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Доказательство

  1. xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = \dato{t}{x_2 - x_M}

    Пусть M=(xM,yM)M = (x_M, y_M) есть середина отрезка. Прямые, параллельные вертикальной оси и проведённые через P1P_1, MM и P2P_2, пересекают горизонтальную ось в точках x1x_1, xMx_M и x2x_2. По теореме Фалеса, четвёртому из принимаемых фактов, поскольку точка MM равноудалена от P1P_1 и от P2P_2, равны и отрезки, которые эти параллельные прямые отсекают на оси, так что xMx_M лежит посередине между x1x_1 и x2x_2 (если x1=x2x_1 = x_2, то три абсциссы совпадают и равенство очевидно).

  2. xM−x1=x2−xM→xM=x1+x22x_M - x_1 = \resaltar{x_2 - x_M} \rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

    Выражаем абсциссу точки MM.

  3. yM=y1+y22y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

    С помощью прямых, параллельных горизонтальной оси, точно так же рассуждаем на вертикальной оси.

  4. d(P1,M)=(x2−x12)2+(y2−y12)2=12d(P1,P2)=d(M,P2)d(P_1, M) = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}d(P_1, P_2) = d(M, P_2)

    Сверка с формулой расстояния: разности координат между P1P_1 и MM составляют половину разностей между P1P_1 и P2P_2, и то же самое верно для MM и P2P_2.

ПримерРасстояние между двумя точками

Вычислить расстояние между точками P1=(1,1)P_1 = (1, 1) и P2=(5,4)P_2 = (5, 4).

Доказательство

  1. Δx=5−1=4,Δy=4−1=3\Delta x = 5 - 1 = \dato{a}{4}, \quad \Delta y = 4 - 1 = \dato{b}{3}

    Катеты прямоугольного треугольника равны разности абсцисс и разности ординат.

  2. d2=42+32=25d^2 = \resaltar{4}^2 + \resaltar{3}^2 = 25

    По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

  3. d(P1,P2)=5d(P_1, P_2) = 5

    Расстояние есть положительный квадратный корень.