Os números naturais e os axiomas de Peano

Resumo

Esta aula define os números naturais por meio dos cinco axiomas de Peano: um conjunto $\mathbb{N}$ com um elemento $1$ e uma função sucessor $S$ de $\mathbb{N}$ em $\mathbb{N}$ , injetora e que não atinge o $1$ , no qual todo subconjunto que contém o $1$ e o sucessor de cada um de seus elementos é o conjunto inteiro. Dá nome aos sucessivos sucessores do $1$ , deduz do quinto axioma o princípio de indução para propriedades e o aplica, primeiro, a uma propriedade do sucessor e, depois, a problemas de dificuldade crescente: a soma dos primeiros naturais, uma desigualdade que só se demonstra depois de reforçá-la, a desigualdade de Bernoulli, o recobrimento de um tabuleiro com peças em L e a comutatividade da soma.

Objetivos de aprendizagem

Enunciar os axiomas de Peano e indicar que propriedade dos números naturais cada um garante.
Escrever os primeiros naturais como sucessores iterados do $1$ e passar da notação simbólica à habitual.
Aplicar o princípio de indução numa demonstração simples.

Os axiomas de Peano para os números naturais

Os números naturais, também chamados inteiros positivos, são os que usamos para contar e medir. Aparecem do modo mais natural na operação de contar, a mais simples da aritmética. Definem-se pelos axiomas de Peano: admite-se que existe um conjunto, que se denota por $\mathbb{N}$ e cujos elementos se chamam números naturais, com um elemento distinguido, o $1$ , e uma função $S$ , chamada sucessor, que associa a cada natural $n$ outro natural $S(n)$ , e que se cumprem os cinco axiomas seguintes. As noções de conjunto, de função e de função injetora que intervêm neles são definidas na aula sobre conjuntos, relações e funções.

$1$ é um número natural: $1 \in \mathbb{N}$ .
$S$ é uma função de $\mathbb{N}$ em $\mathbb{N}$ : se $n$ é um número natural, seu sucessor $S(n)$ também o é.
$1$ não é sucessor de nenhum número natural: $S(n) \neq 1$ para todo $n$ de $\mathbb{N}$ .
$S$ é injetora: se $S(n) = S(m)$ , então $n = m$ .
Se um conjunto $A$ de números naturais contém o $1$ e, para qualquer $k$ de $A$ , contém também $S(k)$ , então $A$ é o conjunto de todos os números naturais: $A = \mathbb{N}$ .

Ao estudar os axiomas de Peano, percebemos que o símbolo $1$ é apenas uma representação que indica um número natural específico: aquele que cumpre estas propriedades. Assim como $1$ representa o primeiro natural, usamos símbolos que nos são familiares para representar seus sucessores:

2 = S(1), \quad 3 = S(2), \quad 4 = S(3), \quad \ldots

Desse modo, os símbolos $2, 3, 4, \ldots$ são entidades abstratas que representam os sucessivos sucessores do $1$ . A coleção formada pelo $1$ e por todos eles é o conjunto dos números naturais:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}

Diz-se também que os números naturais se dispõem numa sequência, a sequência dos números naturais:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots