Закон Кулона и электростатическая сила

«Закон Кулона и электростатическая сила» не только расширили наше понимание электрических сил, но и породили неожиданные анекдоты. Например, Бенджамин Франклин, проводя эксперимент по оглушению и приготовлению индейки с помощью электричества, сам стал объектом испытания: разряд оставил его ошеломленным, а волосы взъерошенными, как будто иллюстрируя линии электрического поля. А теперь пришло наше время изучать электрические силы.

Цели обучения:
По окончании этого занятия студент сможет:

1. Моделировать электрические явления, используя принцип суперпозиции для расчета результирующей силы на пробный заряд.
2. Упрощать изучение электрических сил, ограничивая его электростатическим случаем.
3. Применять закон Кулона для определения силы между двумя зарядами в различных ситуациях.
4. Анализировать системы, сосредоточенные на источнике зарядов, с использованием упрощенной формулировки закона Кулона.
5. Решать практические задачи, связанные с распределением зарядов.

СОДЕРЖАНИЕ:
Принцип суперпозиции
Упрощение электростатики
Закон Кулона
Закон Кулона для систем, сосредоточенных на источнике зарядов
Упражнения

Теперь пришло время начать математическое моделирование этих явлений, и для этого мы введем закон Кулона. Но сначала необходимо объяснить несколько моментов: принцип суперпозиции и упрощение электростатики.

Принцип суперпозиции

Основная задача электродинамики заключается в определении силы, которую «облако» электрических зарядов q_1, q_2, \cdots оказывает на пробный заряд q_0, когда положение каждого из них является известной функцией времени. В общем случае, как источники зарядов, так и пробный заряд находятся в относительном движении.

Решение этой задачи упрощается с помощью принципа суперпозиции, который гласит, что взаимодействие пробного заряда с каким-либо источником полностью независимо от взаимодействия с другими источниками зарядов. Это означает, что всегда можно определить силу \vec{F}_1, которую создает источник q_1, силу \vec{F}_2 от q_2, и так далее, чтобы в конце сложить их и получить общую силу:

\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i

Упрощение электростатики

Если достаточно просто сложить силы, то можно сказать, что достаточно указать уравнение, описывающее силу, которую каждый источник заряда оказывает на пробный заряд, и задача будет решена; однако проблема не так проста. Проблема в том, что сила зависит не только от расстояния и величины зарядов, но и от скорости и ускорения каждой частицы. Кроме того, «электрическая информация» о изменениях положения, скорости и ускорения каждой частицы распространяется со скоростью света, что означает, что ей требуется определенное время, чтобы достичь пробного заряда и оказать свое воздействие.

Таким образом, с целью упрощения нашего изучения мы ограничимся случаем электростатики, то есть все источники зарядов останутся неподвижными, а двигаться сможет только пробный заряд; и именно в этом контексте возникает закон Кулона.

Закон Кулона

Предположим, у нас есть пробный заряд q_0, расположенный в точке \vec{r}, и источник заряда q, расположенный в точке \vec{r}^\prime. Какова будет сила \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}), которую источник заряда оказывает на пробный заряд? Ответ на этот вопрос дает закон Кулона, который выражается формулой:

\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}

Закон Кулона не только резюмирует правило знаков для электростатической силы, но также устанавливает, что сила между электрическими зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Константа \epsilon_0 называется диэлектрической проницаемостью вакуума. Ее значение в Международной системе единиц:

\displaystyle \epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]

Закон Кулона для систем, сосредоточенных на источнике зарядов

Закон Кулона можно выразить более простым способом, если разместить наблюдателя в точке источника заряда, то есть принять \vec{r}^\prime = \vec{0}. В этом случае формула будет выглядеть так:

\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}

Где \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| — это единичный вектор, направленный от источника к пробному заряду.

Упражнения

1. Двенадцать точечных зарядов одинаковой величины q расположены по углам правильного двенадцатиугольника (как цифры на часах). Какова будет результирующая сила на точечный заряд q, помещенный в центр?
2. Один из двенадцати зарядов, описанных в предыдущем упражнении, удален. Предположим, это заряд, расположенный в позиции «12 часов». Какую силу теперь испытает заряд q, находящийся в центре?
3. Распространите рассуждения из двух предыдущих упражнений на случай, когда n источников заряда расположены по углам правильного многоугольника с n сторонами, а пробный заряд помещен в центр.
4. Есть три точечных заряда: q_1=+3[nC], расположенный в точке (0;0)[mm], q_2=-5[nC], расположенный в точке (0,56;0)[mm], и q_3=+7[nC], расположенный в точке (1;1)[mm]. Рассчитайте общую силу, действующую на заряд q_3.
5. На прямой линии расположен заряд q_1 = 3[C], а на расстоянии 40[mm] от него — другой заряд q_2 = 7[C]. Если между этими двумя зарядами расположить третий заряд так, чтобы результирующая сила на нем была равна нулю, то каково будет расстояние между третьим зарядом и остальными двумя?
6. Две небольшие медные сферы, каждая массой 0.040[kg], расположены на расстоянии 2.0[m]. Учитывая, что молярная масса меди равна 63.5[g/mol], а ее атомный номер — 20, ответьте на следующие вопросы:
   1. Сколько электронов содержится в каждой сфере?
   2. Сколько электронов необходимо перенести с одной сферы на другую, чтобы создать силу притяжения между ними примерно равную 10^4[N]?
   3. Какую долю от общего количества электронов в сфере составляет это число?