以下では、確率論におけるいくつかの有用な定理を証明することを目的とした演習（解答付き）のガイドを示します。自分で解いてから結果を比較してみてください >:D

1. P(A^c) = 1 -P(A) を証明し、 これに基づいて P(\emptyset) = 0 を論じる推論を行いなさい
   解答を表示

   確率測度の定義より、A と B が任意の可測事象であるとき、次が成り立ちます

   [a]	0\leq P(A) \leq 1
   [b]	A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)
   	P(\Omega) = 1

   さて、A\cap A^c = \emptyset であるので、[b] より次が成り立ちます:

   [d]	A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   A\cap A^c = \emptyset は常に真であり、かつ A\cup A^c = \Omega であるので、次が成り立ちます

   1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   したがって

   P(A^c) = 1-P(A)

   これが示したかったことです。

   P(\emptyset)=0 を示すには、先ほど証明した関係において A=\Omega をとれば十分であり、次が得られます

   P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0

2. a) A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A) を証明せよ。この等式は一般に成り立つか？b) A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A) を証明せよ解答を表示 a)

   (1)	A\subseteq B; 前提
   	\equiv A\cap B = A
   (2)	B\setminus A = B\cap A^c; 集合論の定義
   (3)	B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c); 集合の性質
   (4)	(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset; 集合の性質
   (5)	P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]; (3)より
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c); (4) と確率測度の定義より
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A); (2)より
   	P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)
   	{P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }; (1)より

   したがって {\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

   この等式は一般には成り立たないことに注意してください。これは A\subseteq B が成立する場合にのみ得られるものです。この議論から、もしそれが満たされない場合には P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B). となることが分かります。

   解答を表示 b)

   a) での議論に基づけば次が得られます:

   \{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

   \equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

   最後に、P は確率測度であるため、\forall X (P(X)\geq 0), が成り立ちます。したがって次が導かれます:

   {\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

    

3. a) P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B). を証明せよ。証明には図を添えなさい。b) 上の結果を用いて P(A\cup B) \leq P(A) + P(B) を証明せよ解答を表示 a)

   (1)	A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B); 集合の性質
   (2)	A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A); 対称差の定義
   (3)	(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset; 集合の性質
   (4)	(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset; 集合の性質
   (5)	P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]; (1)より
   	P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]; (3)より
   	P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]; (2,4)より
   (6)	P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B); 演習2の結果を適用
   (7)	P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B); (6) と同様
   (8)	P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B); (5,6,7)より
   	{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.

   解答を表示 PART b)

   \vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B); a) の結果

   \equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

   \equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

    

4. もし \{E_n\} が無限の事象族であるなら 次のように E_1\supseteq E_2 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots. が成り立つ。これを証明せよ:

   \displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n) 解答を表示

   (1)	E_n \supseteq E_{n+1}; 仮定
   (2)	E_n^c \subseteq E_{n+1}^c; (1) より補集合で
   (3)	\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c); 連続性の性質
   (4)	\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c; ド・モルガンの法則
   (5)	P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n); 演習1で証明済み
   (6)	\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n); (2,4,5) を (3) に適用
   	\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)
   	{\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)}

   \displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).