ベルヌーイ試行と二項分布

概要
本講義では、ベルヌーイ試行の概念とその確率論における含意を学びます。まずベルヌーイ試行の詳細な定義から始め、その後、事象間の独立性の概念を取り上げます。これらの考えを明確にした後、ベルヌーイ試行の繰り返しがどのように二項分布をもつ結果を生むかを理解するために二項定理を適用します。最後に、これらの概念を応用し強化するための実践的な演習を提示します。

学習目標:
この講義を終えた後、学生は以下ができるようになります:

識別する ベルヌーイ試行の主な特徴を、試行間の独立性を含めて。
適用する ベルヌーイ試行から導かれる二項事象の表記法を正しく。
区別する 様々な形の独立性（2-独立性、3-独立性、n-独立性）を、それらの関係およびベルヌーイ試行における適用を理解する。
理解する ベルヌーイ試行と二項定理との関係を、そしてこの関係が一連の成功と失敗の確率を計算するためにどのように利用できるか。
適用する 二項分布（またはベルヌーイ分布）を用いて、一連の試行における一定数の成功の確率を計算する。

目次:
ベルヌーイ試行
様々な形の独立性
ベルヌーイ試行と二項定理
二項分布（またはベルヌーイ分布）と確率分布
演習:

ベルヌーイ試行

ベルヌーイ試行とは、ランダムな実験である 二項的で、ある確率 $p.$ によって成功します。ベルヌーイ試行を $n$ 回同一かつ独立に繰り返すと、ベルヌーイ事象 が得られます: $n$ 回の試行のうち、ある数 $k$ の成功です。これらは二項事象とも呼ばれ、次の表記法で表されます。

$\Large \displaystyle Bi(n;k;p)$

ベルヌーイ試行のもう一つの重要な特徴は、すべての試行が互いに独立であることです。

例: 6 面のサイコロを繰り返し投げる。この実験におけるベルヌーイ型事象の例は次の通りです:

5 回の試行で 3 回エースを出す: $Bi(5;3;1/6)$ で表される
12 回の試行で 7 回偶数を出す: $Bi(12;7;1/3)$ で表される

様々な形の独立性

ベルヌーイ試行において行われる試行間の独立性 は、すでに学んだ独立性とは正確には同じではなく、はるかに制限されたバージョンです。この違いを説明するために、事象間の独立性の種類を調べてみましょう。

2-独立性

すでに知っている独立性は、2 つの事象の間に成り立つものであり、これを「2-独立性」と呼びます。この用語では、事象 $A$ と $B$ が 2-独立であるとは次の条件が成り立つことを意味します。

$P(A\cap B) = P(A)P(B)$

3-独立性

同様にして、3 つの事象 $A,$ $B$ および $C$ の間の 3-独立性は、次の関係によって定義されます。

$P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)$

重要なのは、 $A,$ $B$ および $C$ の間の 2-独立性が必ずしも 3-独立性を意味するわけではないという点です。ただし、逆の場合にはその含意は成り立ちます。

ベルヌーイ試行における n-独立性

前の定義と同様に、事象の集合 $A_1, \cdots, A_n$ の間の n-独立性は次の関係によって定義されます。

$\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)$

そして同様に次のことが成り立ちます:

(n-1)

-独立性は必ずしも

n

-独立性を意味しない

n

-独立性

\Longrightarrow

(n-1)

-独立性

ベルヌーイ試行における $n$ 回の繰り返しは $n$ -独立である。

ベルヌーイ試行と二項定理

成功と失敗の実験を考える 成功の確率が $p$ である場合、各試行で失敗する確率は $1-p$ となります。各試行において成功または失敗が起こる確率は 1 であり、すべての試行が独立であるため、 $n$ 回の試行において成功または失敗が起こる確率は $1^n.$ したがって次のようになります:

$\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}$

最後の等式ではニュートンの二項定理が適用されており、総和の中の各項は次のように解釈できます:

$\displaystyle {{n}\choose{k}}$ : $n$ 回の試行で $k$ 回成功が起こる方法の数
$p^k$ : $k$ 回の独立した成功が起こる確率
$(1-p)^{n-k}$ : $n-k$ 回の独立した失敗が起こる確率

これらの要素を和の形に組み合わせると、 $n$ 回の試行のうち $k$ 回成功する確率、あるいは同等に $n$ 回の試行のうち $n-k$ 回失敗する確率が得られます。

各項を分けて見ると、次のような確率が得られます:

$\displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n$	n 回の試行で 0 回成功
$\displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1}$	n 回の試行で 1 回成功
$\displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2}$	n 回の試行で 2 回成功
$\vdots$	$\vdots$
$\displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}$	n 回の試行で k 回成功
$\vdots$	$\vdots$
$\displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p)$	$n-1$ 回成功、 $n$ 回の試行の中で
$\displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n}$	$n$ 回成功、 $n$ 回の試行の中で

そして、これらすべての和はすでに見たように「1」となり、すべての可能性が網羅されていることを示しています。

ここから ベルヌーイ事象の確率 が定義されます:

$\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}$

または次のようにも言います: 成功の回数 $X$ は二項分布に従う:

$\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}$

二項分布（またはベルヌーイ分布）と確率分布

二項分布を通じて 確率分布および確率変数の最初の概念を持ち始めます。この場合、（離散的な）確率変数は成功回数に関連しており、その確率分布は二項定理の項によって与えられます。

${\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}$

演習:

6 面の公平なサイコロを 5 回投げる。偶数の目が 3 回出る確率を計算せよ。
コインを 10 回投げる。0 から 10 回表が出る確率を計算し、それぞれの結果に対する確率を示すグラフを作成せよ。投げる回数を増やし、0 からその投げた回数までの表が出る確率を調べると、グラフはどのように見えるか。ここでは Excel のシートが役立つかもしれない。
全体で $s$ 個の玉が入った抽選器があり、そのうち $r$ 個が金色で、残りは白色である。すべてを混ぜ、1 個を無作為に取り出し、金色が出たら勝ちとする。この実験を同一に $20$ 回繰り返すとき、各可能な値 $0\leq r\leq s.$ に対して最も起こりやすい勝利の回数を推定せよ。ここでも Excel のシートが役立つかもしれない。