伯努利试验与二项分布
摘要
在这节课中，我们将研究伯努利试验的概念及其在概率论中的应用。我们首先详细定义伯努利试验，然后讨论事件之间的独立性概念。澄清这些概念后，我们应用二项定理来理解伯努利试验的重复如何产生二项分布的结果。最后，提出一些实际练习来应用和巩固这些概念。
学习目标：
完成本节课后，学生将能够：
- 识别伯努利试验的主要特征，包括尝试之间的独立性。
- 正确应用伯努利试验衍生的二项事件的符号。
- 区分不同形式的独立性（2-独立性、3-独立性、n-独立性）并理解其在伯努利试验中的关系和应用。
- 理解伯努利试验与二项定理之间的关系，以及如何利用这种关系计算一系列成功和失败的概率。
- 应用二项分布（或伯努利分布）来计算一系列尝试中某个成功次数的概率。
内容目录：
伯努利试验
不同形式的独立性
伯努利试验与二项定理
二项分布（或伯努利分布）与概率分布
练习：
伯努利试验
伯努利试验是一个随机实验，具有一定的成功概率 p. 如果一个伯努利试验以相同和独立的方式重复 n 次，则会得到 伯努利事件： 在 n 次尝试中某个数量 k 的成功。这些也称为 二项事件，我们通过以下符号表示
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
伯努利试验的另一个重要特征是所有尝试都是相互独立的。
例子： 多次掷一个6面的骰子。这个实验中的伯努利类型事件的例子包括：
- 在5次尝试中获得3个A面： 表示为 Bi(5;3;1/6)
- 在12次尝试中获得7个偶数： 表示为 Bi(12;7;1/3)
不同形式的独立性
伯努利试验中的尝试独立性 并不完全是我们已经复习过的独立性概念，这是一个更加严格的版本。为了解释这种差异，让我们来检查事件之间的独立性类型。
2-独立性
我们已经了解的独立性 是在两个事件之间的独立性。我们称之为“2-独立性”。在这些术语中，我们说事件 A 和 B 是2-独立的，如果
P(A\cap B) = P(A)P(B)
3-独立性
同样地，三事件 A, B 和 C 之间的3-独立性通过以下关系定义
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
重要的是要强调，A, B 和 C 之间的2-独立性并不一定意味着3-独立性，但在相反的情况下，这种推理是成立的。
伯努利试验中的n-独立性
类似于前面的定义，A_1, \cdots, A_n 事件集合的n-独立性通过以下关系定义
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
类似地，我们有：
| (n-1)-独立性不一定意味着n-独立性 |
| n-独立性\Longrightarrow (n-1)-独立性 |
伯努利试验中的 n 次重复是 n-独立的。
伯努利试验与二项定理
考虑一个成功与失败的实验 成功概率为 p；在每次尝试中，失败的概率为 1-p。显然，每次尝试成功或失败的概率为1；由于所有尝试都是独立的，n 次尝试中成功或失败的概率为 1^n. 从而我们有：
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
在最后一个等式中，应用了 牛顿二项定理， 并且和中的各项可以解释如下：
- \displaystyle {{n}\choose{k}}：在 n 次尝试中，发生 k 次成功的方式数
- p^k：发生 k 次独立成功的概率
- (1-p)^{n-k}：发生 n-k 次独立失败的概率
将这些元素按照和中的方式组合起来，我们得到：在 n 次尝试中获得 k 次成功的概率；或等效地，在 n 次尝试中获得 n-k 次失败的概率。
如果将和中的每一项分离出来，我们得到以下概率：
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | n 次尝试中0次成功 |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1} | n 次尝试中1次成功 |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2} | n 次尝试中2次成功 |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} | n 次尝试中 k 次成功 |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p) | n 次尝试中 n-1 次成功 |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n} | n 次尝试中 n 次成功 |
我们已经看到，这些概率的和为 “1”。这表明所有可能性都已涵盖。
从中可以定义 伯努利事件的概率：
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}
我们也可以说 成功次数 X 服从二项分布：
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
二项分布（或伯努利分布）与概率分布
通过二项分布 我们开始了解概率分布和随机变量的概念。在这种情况下，随机变量（离散型）与成功次数相关，其概率分布由二项定理的各项给出
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
练习：
- 均匀的6面骰子掷5次。计算得到3次偶数的概率。
- 抛掷硬币10次。计算从0到10次正面的概率，并绘制显示每个结果概率的图表。如果增加掷硬币的次数，并检查从0到该次数的正面数量的概率，图表会是什么样子？这里可以使用Excel表格。
- 一个有 s 个小球的抽奖箱，其中 r 个是金色的，其余是白色的。将所有小球混合后随机抽取一个，当抽到金色的小球时获胜。如果这个实验以相同方式重复 20 次，估计在每个可能的 0\leq r\leq s 值情况下最可能的获胜次数。这里也可以使用Excel表格。