自然数とペアノの公理
要約
この講義では、自然数と、それがペアノの公理によってどのように定義されるかについて扱います。ペアノの公理とは、自然数の基本的な性質を定める一連の数学的原理です。また、自然数の後続を表す記号の使用法、記号的な表現方法、および数学的帰納法の原理を用いた帰納的証明の方法についても説明します。
学習目標
- 理解する 自然数の定式化のためのペアノの公理。
- 理解する 自然数の記号表現の定式化。
目次
自然数に対するペアノの公理
自然数（正の整数とも呼ばれる）は、私たちが数えたり測ったりするために使う数字です。算術の中で最も基本的な操作である「数えること」において自然に現れる数字です。これらの数字は、ペアノの公理と呼ばれる一連の数学的原理によって定義されます。
- “1” は自然数である。
- n が自然数であるならば、その後続 S(n) も自然数である。
- “1” はいかなる自然数の後続でもない。
- もし S(n) = S(m) ならば、n=m である。
- もし 1 がある集合 A に属し、任意の A 内の k に対して S(k) も A に属するならば、その集合 A は自然数の集合であり、\mathbb{N} と表される。
ペアノの公理を学ぶとき、記号 “1” は実際には特定の自然数を示すために使われる単なる表現にすぎないことがわかります。この数はこれらの性質を満たすものです。1 が「最初の自然数」を表すように、私たちが慣れ親しんでいる記号を用いてその後続を表します。
- 2=S(1)
- 3=S(2)
- 4=S(3) \\ \vdots
このように続いていきます。このように、1, 2, 3 などの記号は、1 の各後続を表す抽象的な存在です。これらすべてのオブジェクトの集合が自然数であり、次のように表されます：
\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}
また、自然数は「自然数の列」として順に並んでいるとも言われます：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots
自然数における帰納法の原理
自然数の重要な特徴の一つは、常にその次に来る数が存在すること、すなわち自然数が無限に存在するという点です。これは第5の公理、すなわち帰納法の原理から直感的に理解できます。この原理は次のように表されます：
ある性質が 1 に対して成り立ち、かつ任意の自然数 k に対してその性質が成り立つと仮定すると、その次の数 S(k) にも成り立つ場合、その性質はすべての自然数に対して成り立つ。
帰納法の原理は、自然数に対する基礎を提供するだけでなく、自然数に関する性質が成り立つことを証明するための有用な手段でもあります。以下に簡単な例を示して、この手法を確認してみましょう：
例： 帰納法の原理を用いて、すべての自然数がその後続と異なることを証明できます。 |
これは一見して明らかな事実ですが、帰納法によってどのように証明するかを理解する助けになります。 証明：
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証明に関するコメント
例で挙げた性質は非常に自明に見えるかもしれませんが、数学においては証明が常にそのような明快さを保つとは限りません。今回見た証明は、実際に数学的に作業を行う際に通常行われる形式の一例です。数学特有の推論技法を理解する助けとして、数学的論理の講座資料をぜひ参照してください。