Numeri Naturales et Axiomata Peano

COMPENDIUM
Haec lectio versatur de numeris naturalibus et quomodo per axiomata Peano definiantur: seriem principiorum mathematicorum quae proprietates fundamentales eorum constituunt. Etiam explicat quomodo symbola adhibita sint ad repraesentandos successores numerorum naturalium, quomodo symbolice repraesententur, et usum principii inductionis mathematicae ad probationes inductivas perficiendas.

PROPOSITA DISCENDI

Intellegere axiomata Peano ad formulationem numerorum naturalium.
Intellegere formulationem repraesentationis symbolicae numerorum naturalium.

INDEX

Axiomata Peano pro numeris naturalibus
Principium inductionis in numeris naturalibus
Commentarium de demonstrationibus

Axiomata Peano pro Numeris Naturalibus

Numeri Naturales, etiam noti ut numeri integri positivii, sunt illi quos ad numerandum et metiendum adhibemus. Apparent naturalissime in operatione numerandi, quae est simplicissima ex arithmetica. Hi numeri definiuntur per axiomata Peano, seriem principiorum mathematicorum quae modum operandum horum numerorum constituunt.

“ $1$ ” est numerus naturalis
Si $n$ est naturalis, tum eius successor $S(n)$ quoque naturalis est.
“ $1$ ” non est successor ullius numeri naturalis.
Si $S(n) = S(m)$ , tum $n=m$ .
Si $1$ ad aliquod collectum $A$ pertinet; et si dato $k$ quolibet in $A$ , etiam $S(k)$ in $A$ est, tum $A$ est collectio numerorum naturalium et notatur $\mathbb{N}$ .

Dum axiomata Peano examinamus, intellegimus symbolum “ $1$ ” revera esse solam repraesentationem adhibitam ad significandum numerum naturalem certum. Hic numerus est is qui has proprietates implet. Sicut $1$ primum naturalem repraesentat, ita quoque symbolis (quae nobis sunt familiares) utimur ad successores eius repraesentandos.

$2=S(1)$
$3=S(2)$
$4=S(3) \\ \vdots$

et sic porro. Hoc modo, symbola $1$ , $2$ , $3$ , etc., sunt entia abstracta quae diversos successores $1$ repraesentant. Collectio horum omnium obiectorum sunt numeri naturales, quos sic repraesentamus:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$

Etiam dicitur numeri naturales in successione ordinari, successione numerorum naturalium:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots$

Principium Inductionis in Numeris Naturalibus

Momentum magnum numerorum naturalium est quod semper est numerus post quemlibet, quod significat infinitos esse numeros naturales. Hoc ex quinto axioma, sive principio inductionis, colligi potest, quod sic exprimitur:

Si aliqua proprietas verificatur pro $1$ ; et si, posito quod verificetur pro alio naturali quolibet $k$ , etiam verificatur pro sequente $S(k)$ ; tum talis proprietas verificatur pro omnibus naturalibus.

Principium inductionis praebet, praeter fundamentum numeris naturalibus, instrumentum utile ad demonstrandum si proprietas de numeris naturalibus valeat. Ad hoc inspiciendum, exemplum simplex consideremus:

EXEMPLUM: Per principium inductionis demonstrari potest omnem naturalem diversum esse a suo successore.

Quamquam hoc videtur manifestum, tamen adiuvat ad intellegendam rationem procedendi cum per inductionem demonstratur.

Demonstratio:

Manifestum est $1$ diversum esse a $S(1)=2$ . Hoc est gradus initialis, ubi verificamus proprietatem valere pro primo elemento.
Supponamus proprietatem valere pro quolibet $k$ , id est, $k\neq S(k)$ ; quod demonstrandum est, est ex hoc sequi etiam $S(k)\neq S(S(k))$ . Hoc est gradus inductivus. Si hi duo gradus complentur, dicitur inductionem esse completam et proprietatem valere pro omnibus naturalibus.
[1] Ad initium, animadvertamus $S(k) \neq k,$ aequivalere dicere $\neg [k=S(k)]$ .
[2] Sed cum tam $k$ quam $S(k)$ sint naturales, ex axiomate 2 dicere possumus utrumque successores habere: $S(k)$ et $S(S(k))$ respective. Ambo quoque naturales sunt.
[3] Deinde, ex axiomate 4 dicere possumus: $S(k) = S(S(k))$ implicat $k = S(k)$ . Hoc sic scribi potest:
$\left[ S(k) = S(S(k)) \right] \rightarrow \left[k = S(k)\right]$
quod per contrapositi regulam aequivalet dicere:
$\neg \left[k = S(k)\right] \rightarrow \neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
[4] Denique, applicando modus ponens inter ultimam expressionem et illam quae in gradu [1] obtenta est, habetur:
$\neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
quod idem est ac dicere
$S(k) \neq S(S(k))$
Itaque demonstravimus: si constat $S(k) \neq k,$ , tum etiam constat $S(k) \neq S(S(k))$ ; cum autem manifestum sit $1\neq 2$ , inductio est completa et scribi potest:
$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(n \neq S(n)\right)$

Commentarius de demonstrationibus

Quamquam proprietas enuntiata in exemplo satis manifesta est, in mathematica usitatum est demonstrationes non semper talem evidentiam conservare. Haec demonstratio quam modo vidimus est exemplum eorum quae in labore mathematicae usualiter fiunt. Ad te adiuvandum in comprehensione technicarum deductionis propriae mathematicis, suadeo ut consulas materiales destinatos pro cursu logicae mathematicae.

Numeri Naturales et Axiomata Peano

Axiomata Peano pro Numeris Naturalibus

Principium Inductionis in Numeris Naturalibus

Commentarius de demonstrationibus

Leave a Reply