Números Naturais e os Axiomas de Peano

Os Números Naturais e os Axiomas de Peano

RESUMO
Esta aula aborda os números naturais e como são definidos pelos axiomas de Peano: uma série de princípios matemáticos que estabelecem suas propriedades fundamentais. Também explica como são usados símbolos para representar os sucessores dos números naturais, como são representados simbolicamente e o uso do princípio da indução matemática para realizar provas indutivas.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Entender os axiomas de Peano para a formulação dos números naturais.
Entender a formulação da representação simbólica dos números naturais.

ÍNDICE

Os axiomas de Peano para os números naturais
O princípio de indução nos números naturais
Comentário sobre as demonstrações

Os Axiomas de Peano para os Números Naturais

Os Números Naturais, também conhecidos como números inteiros positivos, são aqueles que usamos para contar e medir. Eles aparecem de forma mais natural na operação de contagem, que é a mais simples da aritmética. Estes números são definidos através dos axiomas de Peano, uma série de princípios matemáticos que estabelecem como estes números funcionam.

“ $1$ ” é um número natural
Se $n$ é um natural, então seu sucessor $S(n)$ também o é.
“ $1$ ” não é sucessor de nenhum natural.
Se $S(n) = S(m)$ , então $n=m$ .
Se $1$ pertence a algum conjunto $A$ ; e se dado um $k$ qualquer em $A$ , $S(k)$ também está em $A$ , então $A$ é o conjunto dos números naturais e é denotado por $\mathbb{N}$ .

Ao estudar os axiomas de Peano, percebemos que o símbolo “ $1$ ” na verdade é apenas uma representação usada para indicar um número natural específico. Este número é aquele que cumpre com estas propriedades. Assim como $1$ representa o “primeiro natural”, também usamos símbolos (que são familiares para nós) para representar seus sucessores.

$2=S(1)$
$3=S(2)$
$4=S(3) \\ \vdots$

e assim por diante. Deste modo, os símbolos $1$ , $2$ , $3$ , etc… são entidades abstratas que representam os diferentes sucessores de $1$ . A coleção de todos esses objetos são os números naturais e os representamos através de:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$

Também se diz que os números naturais estão dispostos em uma sequência, a sequência dos números naturais:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots$

O Princípio da Indução nos Números Naturais

Um aspecto importante dos números naturais é que sempre há um número após cada um, o que significa que existem infinitos números naturais. Isso podemos intuir a partir do quinto axioma, ou princípio da indução, que se expressa da seguinte maneira:

Se uma propriedade é verificada para $1$ ; e admitindo que se verifique para um natural qualquer $k$ , verifica-se também para o seguinte $S(k)$ ; então essa propriedade é verificada para todos os naturais.

O princípio da indução fornece, além de uma base fundamental para os números naturais, é uma ferramenta útil para provar se uma propriedade sobre os números naturais é cumprida. Para revisar isso, vejamos um exemplo simples:

<EXEMPLO: Através do princípio da indução, pode-se demonstrar que todo natural é diferente do seu sucessor.

Embora isso seja óbvio, ajuda a entender o procedimento quando se prova por indução.

Demonstração:

É claro que $1$ é diferente de $S(1)=2$ . Este é o passo inicial, onde verificamos que a propriedade é cumprida para o primeiro elemento.
Suponhamos que a propriedade é válida para um $k$ qualquer, isto é, que $k\neq S(k)$ . O que faremos é provar que, a partir disso, também verifica-se para $S(k)$ (ou seja, que também verifica-se que $S(k)\neq S(S(k))$ . Este é o passo indutivo. Se estes dois passos são completos, então diz-se que a indução é completa e a propriedade é válida para todos os naturais.
[1] Para começar, notemos que $S(k) \neq k,$ é equivalente a dizer que $\neg [k=S(k)]$ .
[2] Mas como tanto $k$ quanto $S(k)$ são naturais, pelo axioma 2 podemos dizer que ambos têm sucessores: $S(k)$ e $S(S(k))$ , respectivamente. Ambos também são naturais.
[3] Depois, pelo axioma 4 podemos dizer que: $S(k) = S(S(k))$ implica que $k = S(k)$ . Isso pode ser escrito da seguinte maneira:
$\left[ S(k) = S(S(k)) \right] \rightarrow \left[k = S(k)\right]$
que por contraposição da implicância, é equivalente a dizer:
$\neg \left[k = S(k)\right] \rightarrow \neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
[4] Finalmente, fazendo um modus ponens entre esta última expressão e a obtida no passo [1], tem-se:
$\neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
que é o mesmo que dizer:
$S(k) \neq S(S(k))$
E portanto, demonstramos que, se é verificado que $S(k) \neq k,$ , então também verifica-se que $S(k) \neq S(S(k))$ ; além disso, é evidente que $1\neq 2$ , a indução é completa e pode-se escrever:
$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(n \neq S(n)\right)$

Comentário sobre as demonstrações

Embora a propriedade enunciada no exemplo seja bastante óbvia, é muito comum em matemática que as demonstrações não mantenham essa obviedade. Esta demonstração que acabamos de ver é um exemplo do que normalmente se faz quando se trabalha matematicamente. Para te apoiar na compreensão das técnicas de dedução que são características da matemática, recomendo que revises os materiais destinados para o curso de lógica matemática.

Os Números Naturais e os Axiomas de Peano

Os Axiomas de Peano para os Números Naturais

O Princípio da Indução nos Números Naturais

Comentário sobre as demonstrações

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