Ce qui suit est un guide d’exercices (résolus) où l’objectif est de démontrer certains théorèmes utiles pour la théorie des probabilités. Essayez de les résoudre, puis comparez vos résultats >:D

1. Démontrez que P(A^c) = 1 -P(A) et, à partir de cela, faites une déduction qui permet d’argumenter que P(\emptyset) = 0
   MONTRER LA SOLUTION

   D’après la définition de mesure de probabilité, si A et B sont des événements mesurables quelconques, alors il sera vrai que :

   [a]	0\leq P(A) \leq 1
   [b]	A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)
   	P(\Omega) = 1

   Maintenant, comme A\cap A^c = \emptyset, d’après la partie [b], il sera vrai que :

   [d]	A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   Comme A\cap A^c = \emptyset est toujours vrai et A\cup A^c = \Omega, alors il sera vrai que :

   1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   Et, par conséquent :

   P(A^c) = 1-P(A)

   C’est ce que nous voulions démontrer.

   Pour démontrer que P(\emptyset)=0, il suffit de prendre A=\Omega dans la relation que nous venons de prouver et il sera vrai que :

   P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0

2. a) Démontrez que A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A), L’égalité est-elle vraie en général ?b) Démontrez que A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)MONTRER LA SOLUTION a)

   (1)	A\subseteq B ; Prémisse
   	\equiv A\cap B = A
   (2)	B\setminus A = B\cap A^c ; Définition de la Théorie des Ensembles
   (3)	B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c) ; Propriété des ensembles
   (4)	(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset ; Propriété des ensembles
   (5)	P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)] ; De (3)
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c) ; De (4) + Déf., Mesure de Probabilité
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A) ; De (2)
   	P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)
   	{P(B\setminus A) =P(B) - P (A) } ; De (1)

   Par conséquent {\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

   Notons que cette égalité n’est pas vraie en général, car elle dépend du fait que A\subseteq B soit vérifié. De ces développements, on peut voir que, si cela n’est pas vérifié, alors il sera vrai que P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).

   MONTRER LA SOLUTION b)

   À partir de ce qui a été raisonné en a), on a :

   \{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

   \equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

   Enfin, comme P est une mesure de probabilité, on a que \forall X (P(X)\geq 0), donc par conséquent :

   {\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

    

3. a) Démontrez que P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B). Accompagnez la démonstration avec un diagramme.b) En utilisant le résultat précédent, démontrez que P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)MONTRER LA SOLUTION PARTIE a)

   (1)	A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B) ; Propriété des ensembles
   (2)	A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A) ; Définition de la différence symétrique
   (3)	(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset ; propriété des ensembles
   (4)	(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset ; propriété des ensembles
   (5)	P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)] ; De (1)
   	P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)] ; De (3)
   	P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)] ; De (2,4)
   (6)	P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B) ; Application du résultat de l’exercice 2
   (7)	P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B) ; La même chose que (6)
   (8)	P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B) ; de(5,6,7)
   	{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.

   MONTRER LA SOLUTION PARTIE b)

   \vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) ; résultat de la partie a)

   \equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

   \equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

    

4. Si \{E_n\} est une famille infinie d’événements tels que E_1\supseteq E_2 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots. Démontrez que :

   \displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n) MONTRER LA SOLUTION

   (1)	E_n \supseteq E_{n+1} ; Hypothèse
   (2)	E_n^c \subseteq E_{n+1}^c ; Par complémentation depuis (1)
   (3)	\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c) ; Propriété de Continuité
   (4)	\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c ; Lois de DeMorgan
   (5)	P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n) ; Démontré dans l’exercice 1
   (6)	\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n) ; de (2,4,5) appliqué sur (3)
   	\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)
   	{\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)}

   \displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).