Le Principe de Non-Arbitrage

Résumé :
Dans ce cours, nous aborderons le Principe de Non-Arbitrage, un concept essentiel de la théorie financière qui sous-tend la stabilité et la cohérence des marchés. Ce principe ne forme pas seulement la base des modèles mathématiques pour l’évaluation des actifs, mais joue également un rôle crucial dans la compréhension des dynamiques des prix et la conception de stratégies financières avancées. Nous explorerons ses fondements, ses applications et sa pertinence pour la théorie et la pratique économique.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

Comprendre le concept fondamental du Principe de Non-Arbitrage sur les marchés financiers.
Identifier comment les forces du marché (offre, demande, concurrence, attentes et facteurs externes) influencent l’équilibre des prix.
Analyser les implications du non-respect du Principe de Non-Arbitrage sur la stabilité financière.
Calculer les bénéfices théoriques dérivés des cycles d’arbitrage.

TABLE DES MATIÈRES
Introduction
Fondements du Principe de Non-Arbitrage
Exemples d’Arbitrage
Le principe de non-arbitrage et les probabilités
Analyse de Cas d’Arbitrage : Échange de Devises
Conclusion

Introduction

Le Principe de Non-Arbitrage est l’un des piliers fondamentaux de la théorie des marchés financiers et des modèles mathématiques qui les décrivent. Ce principe stipule que, sur des marchés suffisamment efficaces, les opportunités de réaliser des bénéfices garantis sans risque ni investissement initial devraient être inexistantes ou éphémères. En d’autres termes, toute divergence de prix permettant de réaliser des gains immédiats sans coût sera rapidement corrigée par les forces du marché. Cependant, sur des marchés réels, ces opportunités peuvent surgir temporairement en raison de frictions, de coûts de transaction ou d’informations imparfaites, bien qu’elles tendent à disparaître lorsque les participants les identifient et agissent en conséquence.

Qu’est-ce qu’une force du marché ?

Une force du marché est un facteur, ou un ensemble de facteurs, qui influence la dynamique de l’offre et de la demande. Ces forces déterminent les prix des biens et des services, la quantité échangée et le comportement des acteurs économiques (comme les consommateurs, les entreprises et les gouvernements). Elles opèrent dans le contexte des économies de marché, où l’interaction libre entre acheteurs et vendeurs établit les conditions d’échange.

Les principales forces du marché sont :

Offre : Représente la quantité de biens ou de services que les producteurs sont disposés à vendre à différents prix sur une période donnée.
Demande : Représente la quantité de biens ou de services que les consommateurs sont disposés à acheter à différents prix sur une période donnée.
Concurrence : Le degré de rivalité entre entreprises offrant des produits ou services similaires. Une concurrence accrue réduit généralement les prix et améliore la qualité.
Attentes : Les prévisions sur les prix futurs, la disponibilité des produits ou les changements dans l’économie peuvent influencer les décisions d’offre et de demande.
Facteurs externes : Incluent des changements réglementaires, des innovations technologiques, des tendances sociales ou des événements comme des catastrophes naturelles et des crises économiques.

Le concept de non-arbitrage garantit que les marchés restent cohérents et stables, car l’existence d’opportunités d’arbitrage pourrait engendrer des déséquilibres de prix et encourager des pratiques spéculatives insoutenables. Ce principe ne constitue pas seulement une base théorique pour les modèles financiers, mais se reflète également dans le comportement réel des marchés dans la plupart des circonstances.

Dans ce contexte, le principe de non-arbitrage sert de fondement pour modéliser et analyser le prix des actifs financiers, des dérivés et d’autres instruments complexes. Sa pertinence réside dans le fait que, si ce principe n’est pas respecté, il devient impossible de maintenir un marché stable ou de formuler une théorie financière cohérente.

Fondements du Principe de Non-Arbitrage

Le Principe de Non-Arbitrage repose sur l’idée que les marchés efficaces corrigent rapidement tout déséquilibre dans les prix des actifs qui pourrait conduire à des bénéfices sans risque. Ce concept est crucial tant d’un point de vue théorique que pratique et est profondément ancré dans le fonctionnement des marchés financiers modernes.

Définition formelle

D’un point de vue mathématique, le principe de non-arbitrage peut être exprimé formellement par les conditions suivantes, qui supposent un marché idéalisé avec une information parfaite et sans coûts de transaction :

Un portefeuille initial ayant une valeur $V(0) = 0$ ne peut générer une valeur future positive avec une probabilité de 1. Cela signifie qu’il ne peut garantir de bénéfices sans risque. Formellement :

$\forall V \left[\left(V(0) = 0\right) \rightarrow \left(\nexists t > 0\right) \left(P(V(t) > 0) = 1\right)\right]$

Si le portefeuille a une valeur initiale nulle et génère une valeur future positive ( $V(1) > 0$ ) sans risque, il existe une opportunité d’arbitrage. Sur des marchés suffisamment efficaces, ces opportunités sont rapidement corrigées par des ajustements dans l’offre et la demande.

En pratique, bien que les marchés réels présentent des coûts de transaction, une information imparfaite et des frictions, le principe de non-arbitrage reste une référence conceptuelle clé pour analyser les prix et concevoir des modèles financiers cohérents.

En termes simples, le principe garantit qu’il n’existe pas de scénarios où un investisseur peut obtenir un bénéfice garanti sans risque ni investissement initial. L’inexistence de ces opportunités devient une condition essentielle pour la cohérence des modèles financiers.

Justification pratique

En pratique, les opportunités d’arbitrage sont extrêmement rares, et lorsqu’elles se produisent, elles sont généralement de courte durée. Cela s’explique par le fait que les marchés tendent à corriger rapidement les écarts de prix grâce à l’action des investisseurs, appelés arbitragistes, qui exploitent ces opportunités.

Par exemple, si le prix d’un actif est inférieur sur un marché par rapport à un autre, les arbitragistes achèteront sur le marché le moins cher et vendront sur le marché le plus cher. Cette activité augmente la demande sur le marché aux prix bas et l’offre sur le marché aux prix élevés, menant à un équilibre des prix et éliminant ainsi l’opportunité d’arbitrage.

L’exclusion de l’arbitrage garantit que les prix reflètent la véritable relation de valeur entre les actifs, ce qui contribue à l’efficience du marché et facilite l’évaluation d’instruments financiers tels que les dérivés ou les contrats à terme.

Que se passerait-il si le principe de non-arbitrage était faux ?

Premiers effets

Si le principe de non-arbitrage était systématiquement faux, les acteurs disposant de ressources importantes pourraient diriger de grandes quantités de liquidités et de capitaux levés vers les actifs arbitrés, exploitant ces opportunités de manière systématique. Cela encouragerait une utilisation excessive du crédit, notamment en période de faibles taux d’intérêt ou de réglementation financière laxiste. En conséquence, la création de monnaie bancaire et la liquidité pourraient temporairement augmenter sur certains marchés.

Cependant, en pratique, les opportunités d’arbitrage sont généralement transitoires en raison de l’action combinée des participants au marché et des autorités réglementaires. Ces dernières jouent un rôle crucial pour prévenir les distorsions prolongées en établissant des limites sur l’effet de levier, en réglementant les marchés de dérivés et en encourageant la transparence. De plus, l’intervention des banques centrales et la concurrence entre les agents du marché contribuent à rétablir rapidement l’équilibre des prix lorsqu’un déséquilibre se produit.

Impact sur les prix et la stabilité financière

Tant que ces opportunités persistent, les prix des biens arbitrés ou les taux d’intérêt pourraient ne pas refléter adéquatement les conditions du marché. Cela favoriserait une utilisation incontrôlée du crédit, une spéculation financière et des risques de bulles sur les prix des actifs, en plus de générer de la volatilité sur les taux d’intérêt.

Conséquences sur l’économie réelle

Si les biens arbitrés sont des intrants clés ou fondamentaux pour l’économie, ces dynamiques pourraient affecter d’autres secteurs connexes, propageant des déséquilibres et aggravant l’inflation. Cet effet serait particulièrement marqué sur des marchés où l’offre est rigide ou où la capacité de production est limitée. De plus, l’inflation pourrait être amplifiée si les activités d’arbitrage concernent une part significative du marché et si la demande pour ces biens est inélastique.

Détournement des ressources et inégalités

Un tel scénario encouragerait un détournement des ressources vers des activités spéculatives, érodant l’efficience du marché et accentuant les inégalités économiques. À terme, les déséquilibres accumulés pourraient nécessiter des mesures réglementaires strictes, telles que des contrôles des capitaux, des ajustements des taux d’intérêt ou des limites sur l’effet de levier. Bien que nécessaires, ces mesures pourraient restreindre l’innovation financière et rigidifier le fonctionnement des marchés.

Contraste avec la réalité

Dans la réalité, les dynamiques décrites dans un scénario où le principe de non-arbitrage ne serait pas respecté ont des fondements plausibles et trouvent des parallèles dans des événements historiques. Par exemple, de grands acteurs financiers comme les fonds spéculatifs ou les banques d’investissement utilisent fréquemment l’effet de levier pour réaliser des arbitrages sur des marchés sophistiqués, ce qui peut temporairement accroître la liquidité dans certains secteurs. Cependant, les marchés efficaces tendent à corriger rapidement les différences de prix, limitant ainsi la persistance de ces opportunités.

Bien que l’utilisation excessive du crédit ait déclenché des crises financières, comme celle de 2008, la plupart des marchés actuels disposent de régulations qui contrôlent l’effet de levier et les bulles spéculatives. Dans des secteurs présentant des rigidités structurelles, comme le pétrole ou les produits alimentaires de base, la volatilité des prix peut se propager à d’autres secteurs, aggravant l’inflation, comme observé lors de la crise énergétique de 1973.

Alors que les mesures réglementaires, telles que les limites sur le crédit ou les ajustements des taux d’intérêt, visent à atténuer ces risques, le détournement des ressources vers des activités spéculatives reste une préoccupation dans des marchés émergents ou peu régulés, comme celui des cryptomonnaies. En fin de compte, bien que le principe de non-arbitrage soit un pilier fondamental pour la stabilité des marchés, les mécanismes réglementaires actuels se sont révélés efficaces pour empêcher que son non-respect occasionnel ne mène à des effondrements systémiques.

Implications mathématiques

Le principe de non-arbitrage est un outil clé dans la construction de modèles mathématiques pour l’évaluation des actifs financiers. Parmi les utilisations les plus importantes, on trouve :

Les modèles de tarification des dérivés financiers, comme les options, qui dépendent de l’absence d’arbitrage pour calculer les prix théoriques.
La construction de portefeuilles de couverture, dont l’objectif est de minimiser le risque en s’assurant qu’il n’existe pas d’opportunités d’arbitrage.
La détermination des relations de parité entre différents instruments financiers, comme dans le cas de la parité des taux d’intérêt ou la parité des options.

En résumé, le principe de non-arbitrage agit comme une base solide pour développer des modèles cohérents et précis, essentiels pour la gestion des risques, l’évaluation des actifs et la conception de stratégies d’investissement.

Exemples d’Arbitrage

Les exemples pratiques sont essentiels pour comprendre comment les opportunités d’arbitrage se présentent et comment elles sont résolues dans des marchés efficaces. Voici deux cas illustratifs.

Arbitrage instantané

Supposons que deux commerçants, A à New York et B à Londres, proposent des taux de change différents pour la livre sterling (GBP) en termes de dollars américains (USD) :

Le commerçant A à New York achète des livres sterling à $d_A = 1,62\,\text{USD/GBP}$ .
Le commerçant B à Londres vend des livres sterling à $d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}$ .

Nous pouvons représenter cette situation par un portefeuille dont la valeur initiale au temps $t = 0$ est la suivante :

$V(0) = 0$

En tirant parti des écarts de prix, nous définissons un cycle d’arbitrage comme suit :

Nous empruntons $1.600\,\text{USD}$ , avec lesquels nous achetons $1.000 \, \text{GBP}$ au commerçant B à Londres en utilisant son taux de change $d_B=1,6\,\text{USD/GBP}$ , car :
$1.000\,\text{GBP} \cdot d_B = 1.000 \text{GBP} \cdot 1,6\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}}= 1.600\,\text{USD}$
Nous revendons les mêmes $x = 1,000 \, GBP$ au commerçant A à New York, générant un total de $1.620\,\text{USD}$ , car :
$1.000\,\text{GBP} = 1.000\,\text{GBP} \cdot d_A = 1.000\,\text{GBP} \cdot 1,62\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 1.620\,\text{USD}$
Après cette vente, nous remboursons le prêt initial de $1.600\,\text{USD}$ que nous avions emprunté, et nous conservons la différence de $20\,\text{USD}$ .

En suivant cette procédure, le portefeuille dont la valeur initiale était $V(0)=0$ a maintenant une valeur future $V(1) = 20\,\text{USD}$ avec une probabilité de 1, violant ainsi le principe de non-arbitrage.

Face à cette situation, on pourrait se demander : si je peux gagner $20 \, \text{USD}$ sans risque en empruntant $1.600 \, \text{USD}$ , qu’est-ce qui m’empêcherait d’amplifier mes gains en empruntant une somme beaucoup plus importante ? Par exemple, si j’empruntais $160.000 \, \text{USD}$ , je pourrais gagner $2.000 \, \text{USD}$ . Cependant, de la même manière que vous avez identifié cette opportunité, de nombreux autres investisseurs feront de même, ce qui entraînera une forte demande chez le commerçant B et une offre importante chez le commerçant A. Ces dynamiques inciteront rapidement les deux commerçants à ajuster leurs tarifs pour refléter l’équilibre du marché.

Il convient de rappeler que les commerçants cherchent également à maximiser leurs profits. S’ils constatent une augmentation significative de la demande, ils augmenteront leurs tarifs pour capter une plus grande valeur ; en revanche, si l’offre augmente de manière excessive, ils seront contraints de les réduire pour rester compétitifs. Ce processus dynamique garantit que les prix s’ajustent rapidement, éliminant toute opportunité d’arbitrage dans un marché efficace.

Arbitrage dans le Temps

Supposons que deux commerçants, A à New York et B à Londres, offrent les taux suivants pour la livre sterling (GBP) en termes de dollars américains (USD) :

Le commerçant A à New York accepte d’acheter des livres sterling dans un an à un taux futur de $d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}$ .
Le commerçant B à Londres vend des livres sterling aujourd’hui à un taux de $d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}$ .

En outre, supposons que :

Les dollars américains peuvent être empruntés à un taux annuel de 4 %.
Les livres sterling peuvent être déposées dans un compte bancaire rapportant un intérêt annuel de 6 %.

Nous pouvons représenter cette situation par un portefeuille dont la valeur initiale au temps $t = 0$ est la suivante :

$V(0) = 0$

En tirant parti des écarts de prix et des taux d’intérêt, nous définissons un cycle d’arbitrage comme suit :

Nous empruntons $10.000\,\text{USD}$ . Nous convertissons ces dollars en livres sterling en utilisant le taux de change du commerçant B $d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}$ , ce qui donne :

$10.000\,\text{USD} \div 1,60\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 6.250\,\text{GBP}$

Nous déposons les $6.250\,\text{GBP}$ dans un compte bancaire rapportant un intérêt annuel de 6 %. Au bout d’un an, le solde total en livres sterling sera :

$6.250\,\text{GBP} \cdot (1 + 0,06) = 6.625\,\text{GBP}$

Nous convertissons les $6.625\,\text{GBP}$ en dollars américains en utilisant le taux futur du commerçant A $d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}$ , ce qui donne :

$6.625\,\text{GBP} \cdot 1,58\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 10.467,50\,\text{USD}$

Nous remboursons le prêt initial de $10.000\,\text{USD}$ , plus les intérêts de 4 %, ce qui correspond à :

$10.000\,\text{USD} \cdot (1 + 0,04) = 10.400\,\text{USD}$

Nous conservons la différence comme bénéfice net :

$10.467,50\,\text{USD} - 10.400\,\text{USD} = 67,50\,\text{USD}$

Dans ce cas, le portefeuille dont la valeur initiale était $V(0) = 0$ a maintenant une valeur future de $V(1) = 67,50\,\text{USD}$ , à condition que le taux futur $d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}$ se réalise avec une probabilité de 1. Cependant, dans un scénario réaliste, ce taux de change futur appartient à une plage de valeurs possibles associées à différentes probabilités. Par conséquent, la probabilité que $V(1) > 0$ correspond à la probabilité que le taux de change futur se situe dans une plage favorable.

La plage des taux futurs $d_A$ générant un bénéfice peut être calculée comme suit :

$d_A > \frac{10.400}{6.625} \approx 1,57\,\text{USD/GBP}$

Ainsi, pour que le portefeuille génère un bénéfice ( $V(1) > 0$ ), le taux de change futur doit être supérieur à $1,57\,\text{USD/GBP}$ .

Arbitrages Instantanés et dans le Temps

La révision des exemples précédents met en évidence comment l’arbitrage fonctionne différemment en fonction de l’échelle temporelle :

Arbitrage à court terme : Dans l’exemple d’arbitrage instantané, celui-ci se produit sur une échelle temporelle réduite, où les écarts de prix entre les commerçants permettent de réaliser des gains presque immédiats. Ce scénario illustre comment le marché peut être lent à s’ajuster aux opportunités à très court terme, notamment dans des cas comme le trading à haute fréquence (HFT), où la vitesse de réaction peut être insuffisante pour éliminer l’arbitrage en temps réel.
Arbitrage à long terme : Dans l’exemple d’arbitrage dans le temps, celui-ci dépend d’une valeur future incertaine du taux de change. Dans ce contexte, la probabilité que l’arbitrage soit réussi dépend du fait que le taux futur tombe dans une plage favorable. Cela introduit le risque que les conditions du marché évoluent de manière défavorable, entraînant non seulement des gains, mais aussi des pertes si le résultat futur n’est pas celui attendu.

Ces différences soulignent un aspect crucial de l’arbitrage dans les marchés efficaces : l’ajustement du marché est dynamique et se produit à la fois à court et à long terme, bien que selon des mécanismes différents :

À court terme, les forces du marché (offre et demande) corrigent rapidement les écarts, éliminant les opportunités d’arbitrage et rétablissant l’équilibre des prix.
À long terme, l’ajustement ne dépend pas seulement des forces immédiates du marché, mais aussi des attentes et probabilités associées aux valeurs futures. L’arbitrage à ces échelles introduit le risque de pertes, ce qui limite son exploitation à des décisions calculées basées sur des modèles probabilistes.

Considérations sur les exemples révisés

Dans ces exemples idéaux, on suppose l’absence de coûts de transaction, d’impôts et de restrictions de liquidité. Dans les marchés réels, ces facteurs peuvent éliminer les gains théoriques des cycles d’arbitrage. Par exemple, les commissions de transaction, les écarts de marché et les limites réglementaires peuvent faire en sorte que les écarts de prix ne soient pas suffisamment larges pour générer des bénéfices nets. Par conséquent, bien que les principes théoriques soient valables, leur application pratique nécessite une analyse plus détaillée et la prise en compte des coûts supplémentaires.

Le principe de non-arbitrage et les probabilités

À court terme, le principe de non-arbitrage se manifeste par un ajustement rapide des prix, tandis qu’à long terme, son application dépend de l’intégration des probabilités pour modéliser les attentes concernant les valeurs futures.

Une observation intéressante est qu’à long terme, le modèle simple du marché peut être étendu pour inclure la distribution des probabilités associée aux taux futurs. Cela permet d’exprimer la probabilité de réussite de l’arbitrage comme la probabilité que le taux de change futur se situe dans une plage favorable, représentée par :

$\displaystyle P(V(1) > 0) = \int_{d_{\text{min}}}^{\infty} P(d_A) \, \text{d}d_A$

Dans ce cadre élargi, il est également possible de calculer la valeur espérée du portefeuille pour évaluer l’équilibre entre risque et rendement :

$\displaystyle E(V(1)) = \int_{-\infty}^{\infty} V(1) \cdot P(V(1)) \, \text{d}V(1)$

De cette manière, le principe de non-arbitrage ne se limite pas à décrire l’élimination des opportunités de gains garantis, mais intègre également les dynamiques de risque et de probabilité dans des scénarios où l’arbitrage dépend de résultats futurs incertains.

Analyse d’un cas d’arbitrage : Échange de devises

Le 19 juillet 2002, deux commerçants, A à New York et B à Londres, proposaient les taux suivants pour l’échange d’euros (EUR), de livres sterling (GBP) et de dollars américains (USD) :

Commerçant A	Achat	Vente
$1,000\,\text{EUR}$	$1,0202\,\text{USD}$	$1,0284\,\text{USD}$
$1,000\,\text{GBP}$	$1,5718\,\text{USD}$	$1,5844\,\text{USD}$

Commerçant B	Achat	Vente
$1,000\,\text{EUR}$	$0,6324\,\text{GBP}$	$0,6401\,\text{GBP}$
$1,000\,\text{USD}$	$0,6299\,\text{GBP}$	$0,6375\,\text{GBP}$

Identifiez une opportunité de bénéfice sans risque en utilisant les taux de change fournis par les commerçants A et B. Décrivez le cycle d’arbitrage et calculez le bénéfice net.

Solution

Pour analyser ce cas, nous allons d’abord identifier les différents taux de conversion, à la fois pour l’achat et la vente de chaque commerçant, et les organiser de manière logique et appropriée. Pour cela, nous examinerons comment les transactions d’achat et de vente sont effectuées à partir des tableaux fournis.

Commençons par interpréter ces tableaux de conversion

Dans le cas du commerçant A :

Si vous avez $€\,1$ , il l’achètera contre $\$\,1,0202$ .
Si vous voulez $€\,1$ , il vous le vendra pour $\$\,1.0284$ .

Ces processus peuvent être modélisés par les expressions suivantes :

$\begin{array}{rl} \text{Achat d'euros contre des dollars :} & {x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}x^{€}\\ \\ \text{Vente d'euros contre des dollars :} & {x_A}^{€} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}x^{\$} \end{array}$

Où $x^{\$}$ et $x^{€}$ représentent les montants fournis par l’utilisateur, ${x_A}^{\$}$ et ${x_A}^{€}$ sont les montants reçus par le commerçant A en dollars et en euros respectivement, et ${\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}= \$\,1,0202/€$ et ${\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}=€/\$\,1,0284$ sont les taux de conversion respectifs pour chaque processus.

Ainsi, nous pouvons résumer systématiquement les processus d’achat et de vente de devises des deux commerçants ainsi que leurs taux de conversion :

PROCESSUS	Achat	Vente
Commerçant A (EUR/USD)	${x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}x^{€}$	${x_A}^{€} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}x^{\$}$
Commerçant A (GBP/USD)	${x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}x^{£}$	${x_A}^{£} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$}$
Commerçant B (EUR/GBP)	${x_B}^{£} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{€}}^{£}x^{€}$	${x_B}^{€} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{£}}^{€}x^{£}$
Commerçant B (USD/GBP)	${x_B}^{£} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$}$	${x_B}^{\$} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{£}}^{\$}x^{£}$

TAUX DE CONVERSION	Achat	Vente
Commerçant A (EUR/USD)	${\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$} = \dfrac{\$\,1,0202}{€\,1}$	${\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€} = \dfrac{€\,1}{\$\,1,0284}$
Commerçant A (GBP/USD)	${\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$} = \dfrac{\$\,1,5718}{£\,1}$	${\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{£} = \dfrac{£\,1}{\$\,1,5844}$
Commerçant B (EUR/GBP)	${\left[{\tau_{B}}\right]_{€}}^{£} = \dfrac{£\,0,6324}{€\,1}$	${\left[{\tau_{B}}\right]_{£}}^{€} = \dfrac{€\,1}{£\,0,6401}$
Commerçant B (USD/GBP)	${\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£} = \dfrac{£\,0,6299}{\$\,1}$	${\left[{\tau_{B}}\right]_{£}}^{\$} = \dfrac{\$\,1}{£\,0,6375}$

Analyse des cycles à la recherche d’arbitrages possibles

Un cycle de base en arbitrage consiste à acheter sur un marché, vendre sur un autre, tirer un profit de la différence et répéter le processus. Avec les formules développées, chaque opération d’achat-vente peut être interprétée comme une application successive des transformations définies par les taux de conversion. Il est essentiel de revenir à la devise initiale pour effectuer une comparaison efficace et évaluer le résultat du cycle.

Exemple de cycle générant des pertes

Nous pouvons utiliser un montant $x^{\$}$ en dollars, que le commerçant B achètera, nous remettant une quantité de ${x_B}^{£} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$}$ en livres sterling. Ensuite, si nous nous adressons au commerçant A, il les achètera en nous payant un montant de ${x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{x_B}^{£} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$}$ en dollars. Ainsi, la différence entre le montant final et initial en dollars dans ce processus s’exprime comme suit :

$\begin{array}{rl} {\Delta_{AB}}(x^{\$}) &= {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$} - x^{\$} \\ \\ &= \left( {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£} - 1 \right)x^{\$} \approx -0,00992 x^{\$} \end{array}$

Cela indique des pertes. À partir de cette analyse, nous pouvons conclure qu’une différence positive ne sera obtenue que si, et seulement si, le produit des taux impliqués est supérieur à 1. En outre, il est clair que tout processus d’achat-vente de devises qui retourne à la devise d’origine sera cyclique, ce qui facilitera l’identification de tous les cycles possibles d’achat-vente et permettra de trouver des opportunités d’arbitrage potentielles.

Exemple de cycle profitable

Notons que ${[\tau_B]_{\$}}^{£} {[\tau_A]_{€}}^{\$} {[\tau_B]_{£}}^{€} = \dfrac{1}{0,6401} \cdot 1,0202 \cdot 0,6299 \approx 1,00394$ , ce qui permet d’identifier un bénéfice en livres sterling sous la forme suivante :

${\Delta_{BAB}}(x^{£}) = \left({[\tau_B]_{\$}}^{£} {[\tau_A]_{€}}^{\$} {[\tau_B]_{£}}^{€} - 1 \right)x^{£} \approx 0,003943 x^{£}$

Cela correspond au processus suivant : se rendre chez le commerçant B avec un montant $x^{£}$ en livres sterling pour qu’il vende des euros, utiliser les euros obtenus pour acheter des dollars auprès du commerçant A, et enfin, utiliser ces dollars pour acheter des livres sterling auprès du commerçant B. Si nous commençons ce processus en empruntant $£\,10.000$ , alors, après avoir remboursé le prêt, nous obtiendrons un bénéfice net approximatif :

${\Delta_{BAB}}(£\,10.000) \approx 0,003943 \cdot £\,10.000 = £\,39,43$

Conclusion

Le principe de non-arbitrage se présente comme un concept fondamental pour la stabilité et l’efficience des marchés financiers. En excluant les opportunités d’arbitrage, il garantit que les prix des actifs reflètent fidèlement leur valeur réelle, évitant ainsi les déséquilibres susceptibles de générer des comportements spéculatifs ou des distorsions sur le marché.

L’importance du principe transcende le domaine théorique, car il a des applications directes dans l’évaluation des instruments financiers, la gestion de portefeuilles et la conception de stratégies d’investissement. En particulier :

Les modèles de tarification des dérivés, tels que les options financières, sont construits sur l’hypothèse de non-arbitrage, ce qui permet de déterminer des prix théoriques cohérents.
La pratique de l’arbitrage, bien que limitée en durée et en ampleur, agit comme un mécanisme naturel de correction des marchés, garantissant que les écarts de prix soient temporaires.
Le principe favorise la transparence et la confiance dans les marchés financiers, offrant une base solide pour la prise de décisions stratégiques.

Dans les exemples pratiques explorés, il est démontré que même de petites divergences dans les taux de change ou les taux d’intérêt peuvent être exploitées pour obtenir des bénéfices. Cependant, ces bénéfices sont souvent limités dans la réalité en raison de coûts associés tels que les frais de transaction ou les restrictions de marché.

En fin de compte, le principe de non-arbitrage ne se limite pas à faciliter la compréhension du fonctionnement des marchés financiers, mais constitue également un outil indispensable pour le développement de modèles mathématiques robustes et cohérents. Son importance en mathématiques financières réside dans le fait qu’il sert de cadre conceptuel permettant d’analyser, de concevoir et de prévoir les dynamiques de marché avec un haut degré de précision.

L’étude et l’application du principe de non-arbitrage bénéficient non seulement aux professionnels du secteur financier, mais offrent également aux universitaires et aux chercheurs un terrain fertile pour développer de nouvelles théories et stratégies dans un environnement de marché dynamique et global.