Introducción

Ye hemos estudiado como funciona la refracción; es decir, lo que ocurre cuando la luz pasa de un medio a otro. Pero todo esto lo hemos realizando en el caso de que la interfaz que separa los medios es una superficie plana. Sin embargo, tanto en la naturaleza como en las aplicaciones prácticas, no es difícil encontrar procesos de refracción en interfaces esféricas. Ejemplos de estas cosas son el ojo humano (y de casi cualquier animal en realidad) y la mayoría de los dispositivos ópticos utilizados tanto en la vida cotidiana como en aplicaciones industriales.

En la siguiente figura tenemos la forma en que se construye un lente a través de dos superficies esféricas.

Para el estudio detallado de este tipo de dispositivos es necesario revisar cómo se comporta la luz cuando pasa de un medio a otro a través de una interfaz esférica.

La relación objeto-imagen para la refracción en interfaces esféricas

Iniciaremos nuestro estudio indagando sobre cómo se comportará la luz al pasar de un medio a otro a través de una interfaz esférica. Para esto, consideraremos una esfera de radio R hecha de un material con índice de refracción n_b sumergido en un medio con índice de refracción n_a.

Extrayendo relaciones entre los ángulos

Si analizamos los ángulos involucrados en esta figura notaremos que:

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

Demostración

La primera ecuación se obtiene a partir de que la suma de los ángulos internos de un triángulo son igual a dos ángulos rectos:

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

La segunda se obtiene de forma análoga:

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

Introduciendo la ley de Snell

A partir de la figura se tienen también las siguientes expresiones:

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

Y a partir de la ley de Snell tenemos

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

Ahora, si tomamos la aproximación en que \theta_a y \theta_b son pequeños, entonces \alpha, \beta y \phi también lo serán y ocurrirá que:

A partir de la figura se tienen también las siguientes expresiones:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

Luego, de esto y la ley de Snell se tiene:

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

Ahora, de (7), (1) y (2) se tiene

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

Finalmente, de (8), las aproximaciones y las ecuaciones (3), (4) y (5), se llega a:

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

Esto último es lo que llamamos Relación Objeto-Imagen para la refracción en Interfaces Esféricas.

Formación de imágenes extendidas por refracción al otro lado de las interfaces esféricas

Ahora veamos lo que ocurre cuando cambiamos la fuente de luz puntual por un objeto extendido. Esto es ilustrado en la siguiente figura:

El análisis anterior ya nos indica la relación entre S y S^\prime, ahora sólo nos falta encontrar la relación entre los tamaños del objeto y la imagen.

De la figura tenemos que:

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

Esto lo combinaremos con la ley de Snell

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

Y para esto nos basaremos en el hecho de que para ángulos pequeños se cumple la aproximación

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

De modo que podemos escribir

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

Ahora, recordando lo que hemos visto para espejos esféricos, tenemos algo análogo. En este punto podemos (volver a) definir el factor de magnificación m a través de:

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

de modo que:

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

Sintexis

Resumiendo, hasta ahora hemos extraído dos resultados que nos permiten inferir la formación de las imágenes cuando la luz emitida de un objeto pasa por una interfaz esférica. Estos son las siguientes ecuaciones:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

Con estas dos ecuaciones puedes calcular tanto la posición de la imagen como la oritentación y tamaño de la imagen, y funcionarán independiente de si la superficie de interfaz es cóncava o convexa. En este punto, sin embargo, es necesario puntualizar sobre el convenio de los signos.

Convenio de signos

Con estas dos ecuaciones puedes calcular tanto la posición de la imagen como la oritentación y tamaño de la imagen, y funcionarán independiente de si la superficie de interfaz es cóncava o convexa. En este punto, sin embargo, es necesario puntualizar sobre el convenio de los signos.

La interfaz separa el espacio en dos regiones, una donde podemos encontrar el objeto y la otra donde se encuentra la imagen. En función de esto se tiene que:

• Posición del objeto S: Positivo si está del lado del objeto, negativo si está del lado de la imagen.
• Posición de la imagen S^\prime y el radio de curvatura R: Positivo si está del lado de la imagen, negativo si está del lado del objeto.
• Tamaño del objeto y la imagen, y e y^\prime: Positivo si está sobre el eje óptico, negativo si está debajo el eje óptico.

Interfaces planas como caso límite de las esféricas

Todo lo que hemos desarrollado para interfaces esféricas también sirve para entender un poco mejor las interfaces planas. De hecho, podemos entender una interfaz plana como un trozo de una interfaz esférica con un radio de curvatura muy grande; de hecho, si tomamos límites sobre la relación objeto-imagen para interfaces esféricas cuando el radio tiende a infinito se tiene:

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

Y si a partir de esto calculamos el factor de magnificación, obtenemos:

m=1

Es decir, que la imagen conserva su tamaño y orientación, lo que si varía es su posición observada.

Ejercicios

1. Frente a una varilla de vidrio cilindrica se situa una partícula tal y como se muestra a continuaciónSi la partícula está a 30[cm] de la varilla y la punta de ésta es aproximadamente esférica con un radio R=1,5[cm], calcule la posición de la imagen generada dentro de la varilla.
2. Consideremos la misma varilla del ejercicio anterior, pero ahora ésta se encuentra bajo del agua. Si frente a ella se coloca una aguja de 1[cm] de altura a la misma distancia de 30[cm], calcule el lugar y la altura de la imagen.
3. Una persona mira hacia el fondo de una piscina con el objetivo de estimar su profundidad. Como guía utiliza una flecha pintada en el fondo. ¿Qué relación existe entre la profundidad real y la aparente?