Máximos y Mínimos de una Función

¿Dónde está el “mejor” punto de una función: el máximo que quieres alcanzar o el mínimo que necesitas evitar? Esa pregunta, que aparece en optimización, física, economía e ingeniería, es el una de las principales aplicaciones del cálculo diferencial. Y aquí viene lo potente: el Teorema de Weierstrass te asegura que, si $f$ es continua y trabajas en un intervalo cerrado y acotado, entonces los extremos absolutos existen. Desde ahí, el juego se vuelve práctico: aprender a detectar extremos locales con puntos críticos ( $f'(x)=0$ o no existe) y usar herramientas como Rolle y el Valor Medio para convertir una búsqueda “a ciegas” en un método claro, verificable y eficiente.

Objetivos de Aprendizaje:

Ejecutar un procedimiento completo para hallar extremos absolutos en $[a,b]$ : evaluar $f$ en puntos críticos interiores y en los extremos del intervalo, y comparar valores para decidir máximo y mínimo absolutos.
Contrastar el valor de una condición necesaria versus suficiente: reconocer que “ $f'(x_0)=0$ ” no garantiza extremo local, y decidir qué evidencias adicionales (comparación de valores, análisis de signos, comportamiento local) son pertinentes en cada caso.
Determinar la estrategia más eficiente según el tipo de problema: extremos absolutos en intervalos compactos (Weierstrass + evaluación finita) versus extremos locales en puntos interiores (puntos críticos + análisis local), justificando la elección.

ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Máximos y mínimos, extremos absolutos y locales
Criterio de la 1° Derivada
El Teorema de Rolle
El Teorema del Valor Medio Diferencial
Intervalos de crecimiento y decrecimiento

El Teorema de Weierstrass nos asegura que, si una función real está definida y es continua en un subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb{R}$ , entonces necesariamente alcanza valores máximo y mínimo (extremos absolutos). La búsqueda de máximos y mínimos de una función es lo que se conoce como un problema de optimización, y el teorema de Weierstrass nos garantiza la existencia de soluciones en el sentido de extremos absolutos, siempre que la función sea continua y el dominio sea compacto. Teniendo asegurada la existencia, ahora solo falta desarrollar estrategias que permitan encontrar esas soluciones.

Máximos y mínimos, extremos absolutos y locales

Antes de comenzar a revisar estrategias para la búsqueda de máximos y mínimos, definamos con claridad qué es lo que queremos buscar.

DEFINICIÓN:
Sea $f$ una función con dominio $D$ . Diremos que $f$ alcanza un máximo absoluto en un punto $x_0\in D$ si:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

y alcanzará un mínimo absoluto en $x_0$ si:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

De forma análoga se definen los extremos locales (relativos al dominio).

DEFINICIÓN:
Sea $f$ una función con dominio $D$ y sea $x_0\in D$ . Diremos que $f$ alcanza un máximo local en $x_0$ si:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

y alcanzará un mínimo local en $x_0$ si:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

A partir de esto podemos enunciar el siguiente resultado:

TEOREMA:

Sea $x_0$ un punto interior de un intervalo compacto $I$ . Si $f$ alcanza un máximo o mínimo local en $x_0$ y $f^\prime(x_0)$ existe, entonces $f^\prime(x_0)=0$ .

DEMOSTRACIÓN:
Supongamos que $f$ alcanza un máximo local en $x_0$ . Entonces existe $h_0 \gt 0$ tal que, para todo $h$ con $|h|\lt h_0$ y con $x_0+h\in I$ , se cumple:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

lo cual es equivalente a:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

Consideremos ahora dos casos:

Si $h>0$ , entonces:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
Si $h\lt 0$ , entonces:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

Si $f^\prime(x_0)$ existe, entonces el límite del cociente incremental cuando $h\to 0$ existe y debe ser compatible con ambas desigualdades, lo que obliga a que:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

Que es lo que se quería demostrar.

Debe notarse que esta demostración también es válida para mínimos locales. En ese caso se inicia con: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ para $|h|$ suficientemente pequeño.

Criterio de la 1° Derivada

El resultado que acabamos de revisar se puede resumir en la siguiente implicancia:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ alcanza un}\\ \text{extremo local en }x_0 \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{La derivada no existe en }x_0 \end{matrix}\right\}$

Si bien el recíproco de esta implicancia no es cierto en general, sí es muy útil a la hora de acotar la búsqueda de extremos locales. En función de esto se definen los puntos críticos de la primera derivada.

DEFINICIÓN:
Se dice que $x_0$ es un punto crítico de la primera derivada si $f^\prime(x_0)=0$ o si $f^\prime(x_0)$ no existe.

Los puntos críticos de la primera derivada son relevantes porque todo punto donde la función extremiza (local o absolutamente) debe pertenecer al conjunto de puntos críticos:

$\left\{\begin{matrix}\text{puntos que}\\ \text{extremizan absolutamente}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{puntos que}\\ \text{extremizan localmente}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{puntos críticos de la}\\ \text{primera derivada}\end{matrix}\right\}$

Esto es lo que llamamos criterio de la primera derivada, entendido como una condición necesaria para la existencia de extremos locales en puntos interiores.

El Teorema de Rolle

Ya hemos visto que la determinación de puntos críticos de la primera derivada es clave en la búsqueda de extremos locales. Debido a esto, es natural investigar bajo qué condiciones se puede asegurar la existencia de tales puntos críticos. Un avance en este sentido viene de la mano del teorema de Rolle.

TEOREMA:
Sea $f$ una función definida y continua en $[a,b]$ , y derivable en $]a,b[$ . Si $f(a)=f(b)$ , entonces existe un $c\in]a,b[$ tal que $f^\prime(c)=0$ .

DEMOSTRACIÓN:
Analizaremos dos posibilidades:

Si para todo $x\in]a,b[$ se cumple $f(x)=f(a)=f(b)$ , entonces $f$ es constante y, en consecuencia, $f^\prime(x)=0$ para todo $x\in]a,b[$ . En particular, existe un $c\in]a,b[$ con $f^\prime(c)=0$ .
Si existe $x\in]a,b[$ tal que $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , entonces $f$ no es constante. Como $f$ es continua en $[a,b]$ , por el teorema de Weierstrass alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en $[a,b]$ .
Además, como $f(a)=f(b)$ y $f$ no es constante, al menos uno de esos extremos debe ocurrir en el interior $]a,b[$ .
Así, si $c\in]a,b[$ es un punto interior donde $f$ alcanza un extremo local. Como $f$ es derivable en $]a,b[$ , en particular existe $f^\prime(c)$ , y por el teorema anterior se concluye que $f^\prime(c)=0$ .

El Teorema del Valor Medio Diferencial

Otro resultado que es consecuencia directa de los que acabamos de revisar, y que aporta información útil para el estudio de las funciones, es el teorema del valor medio para el cálculo diferencial.

TEOREMA:
Sea $f$ una función definida y continua en $[a,b]$ , y derivable en $]a,b[$ . Entonces existe un $c\in]a,b[$ tal que:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

DEMOSTRACIÓN:
Sea $F$ la función definida por:

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

Esta función es continua en $[a,b]$ y derivable en $]a,b[$ porque $f$ también lo es. Además, $F(a)=F(b)$ , de modo que podemos utilizar el teorema de Rolle para concluir que existe un punto $c\in]a,b[$ tal que $F^\prime(c)=0$ .

Ahora, derivando $F$ se obtiene:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Evaluando en $c$ y usando $F^\prime(c)=0$ :

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Luego:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

que es lo que se quería demostrar.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

TEOREMA:

Si $f$ es una función tal que $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ , entonces $f$ es estrictamente creciente en $]a,b[$ .
Si $f$ es una función tal que $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ , entonces $f$ es estrictamente decreciente en $]a,b[$ .

DEMOSTRACIÓN:
Sean $x_1,x_2\in ]a,b[$ tales que $x_1 \lt x_2$ . Como $f$ es derivable en $]a,b[$ , podemos aplicar el teorema del valor medio a $f$ sobre el intervalo $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ . En consecuencia, existe un punto $c\in]x_1,x_2[$ tal que:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

A partir de esto:

Si $f^\prime(c) \gt 0$ , entonces $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
Por lo tanto, $f$ es creciente.
Si $f^\prime(c) \lt 0$ , entonces $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
Por lo tanto, $f$ es decreciente.

Estudiar máximos y mínimos no es solo “hacer derivadas”, sino aprender a transformar una búsqueda difusa en un procedimiento con garantías y criterios claros. Weierstrass te dice cuándo puedes confiar en que el óptimo existe en un intervalo compacto, mientras que el criterio de la primera derivada, Rolle y el Teorema del Valor Medio te entregan el mapa para encontrar candidatos y justificar conclusiones: dónde puede extremizar una función, cuándo esa condición es solo necesaria, y cómo el signo de $f'$ revela crecimiento y decrecimiento. Si dominas esta cadena de ideas, pasas de mirar gráficos con intuición a resolver optimización con argumentos verificables, que es exactamente la diferencia entre “creo que aquí está el mejor punto” y “sé por qué debe estar aquí”.

Vistas: 17