Introducción

Uno de los elementos más característicos del cálculo son el infinito y el límite al infinito. El concepto de infinito no apunta a un número real, en su lugar intenta describir una magnitud que supera cualquier cota real. Por ejemplo, cuando tenemos la función f(x) = 1/x y nos preguntamos por su comportamiento cuando x es tan grande como se quiera, cuando x tiende a infinito (x\to \infty), lo que observamos es que f(x) podrá en consecuencia acercarse a cero tanto como se quiera. Ante esto escribimos:

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

Gráficamente, este asunto tiene la siguiente apariencia:

Definición de Límite al Infinito

A partir de esta idea que acabamos de introducir es que podemos formular la definición matemática de límite al infinito:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

La noción intuitiva de este límite nos indica lo que pasa con f(x) cuando x se aleja tanto como queramos del origen, sea yéndose a la derecha o a la izquierda. La estrategia para el cálculo de límites al infinito no es muy diferente a la que usamos al calcular límites finitos porque su álgebra es practicamente la misma, sólo debemos tener en cuenta los siguientes resultados

Límites Básicos al Infinito

A partir de estas definiciones podemos demostrar los siguientes límites básicos.

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

DEMOSTRACÍON:

1. Por la definición de límite al infinito, tenemos que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k es equivalente a decir:(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right)Pero \left|k-k\right|=0\lt \epsilon se cumple siempre y para cualquier \epsilon \gt 0, y sin importar el valor de M, por lo que el límite queda asegurado.

    

2. Sabamos que, por definición \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k es equivalente a decir:(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right)Pero esta implicancia se satisface de inmediato si consideramos un M=1/\epsilon, de modo que el límite queda asegurado.

    

Estas demostraciones se realizan de forma análoga para cuando x\to+\infty.

Álgebra de Límites al Infinito

El álgebra de los límites infinitos es análoga a la de los límites finitos. Si \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L y \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, entonces se cumplen las siguientes reglas:

1. Suma y Resta de Límites: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. Multiplicación por constante \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. Producto de límites: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. División de Límites: Siempre que M\neq 0, entonces \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. Potencias de Límites: Si p,q \in\mathbb{Z} y q\neq 0, entonces \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q} Si q es par, se da por sentado que L\geq 0

En realidad, la demostración de todas estas propiedades son análogas a la de los límites finitos

Límite al infinito en Funciones Racionales

Una función racional es aquella que se puede expresar como cociente entre dos polinomios. Al realizar el cálculo de límites al infinito sobre este tipo de funciones se puede observar una propiedad que es de suma utilidad:

Supongamos que queremos calcular \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x)

• Si el grado de P(x) es mayor al de Q(x), entonces el tamaño de la función f(x) crecerá sin límite cuando x\to\infty (el limite no existirá)
• Cuando el grado de P(x) es menor al de Q(x), entonces el el límite será cero.
• Y finalmente, si el grado de P(x) es igual al de Q(x), entonces el límite será igual al cociente de los coeficientes que acompañan a la potencia de mayor grado.

Lo mejor de este resultado es que, como veremos en los siguientes ejemplos, funciona de modo análogo aún si las potencias involucradas no son números enteros.

Ejemplos de límites al infinito

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [SOLUCIÓN]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [SOLUCIÓN]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [SOLUCIÓN]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [SOLUCIÓN]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [SOLUCIÓN]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [SOLUCIÓN]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [SOLUCIÓN]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [SOLUCIÓN]