Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En esta clase se ofrece una exploración detallada de las ideas fundamentales que rigen estas ecuaciones y sus aplicaciones en varios campos. Comenzando con un análisis de la naturaleza del cambio incesante en el mundo que nos rodea, se presentan conceptos básicos como funciones, derivadas y su relación con el cambio continuo y discreto. Se introduce la distinción entre Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y Ordinarias (EDO), enfocándose en el estudio de las EDO. Se ilustran conceptos con ejemplos prácticos como el enfriamiento de una taza de café, las Leyes de Newton y modelos de población. Los estudiantes tendrán la oportunidad de familiarizarse con ecuaciones diferenciales que rigen fenómenos naturales y físicos, descubrir cómo se pueden representar matemáticamente y entender algunas técnicas para estudiar sus soluciones. Este conocimiento inicial constituirá la base para estudios más avanzados en ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ciencia e ingeniería..
Objetivos de Aprendizaje:
Al concluir esta clase el estudiante será capaz de:
- Comprender los conceptos básicos relacionados con ecuaciones diferenciales, como la naturaleza del cambio, las funciones, las derivadas y las diferencias entre Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y Ordinarias (EDO)
INDICE
Las Ecuaciones Diferenciales y la Naturaleza de las Cosas
El Cambio Incesante
Funciones, derivadas y sus cambios
EDO y EDP
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
El enfriamiento de una taza de café
Las Leyes de Newton
Modelo de poblaciones
Las Ecuaciones Diferenciales y la Naturaleza de las Cosas
El Cambio Incesante
En la naturaleza, todo está en constante cambio. Incluso aquello que parece nunca cambiar, como el brillo del Sol, varía si se observa en la escala de tiempo adecuada. Todo cambia: el brillo de las estrellas, la temperatura del café en una taza, la posición de un objeto, y el tamaño de una población son algunos ejemplos, y estas tasas de cambio generalmente están relacionadas con el estado de lo que cambia mientras ocurre ese cambio.
Una manera intuitiva de entender el cambio es observar cómo las cosas se modifican conforme pasa el tiempo. Al cambio que ocurre respecto al tiempo es lo que llamamos evolución, y todo lo que podemos observar está en continua evolución. Pero la evolución no es la única forma de cambio; por ejemplo, si bien nuestra altura con respecto al nivel del mar puede variar con el paso del tiempo, es más probable que cambie según nuestra posición (o coordenadas geográficas).
Funciones, derivadas y sus cambios
En términos más generales, una función de varias variables f(x_1,x_2, \cdots, x_n) puede variar si alguna de sus variables cambia, y ese cambio puede ser continuo o discreto. Para una función de varias variables, el cambio continuo se puede estudiar a través de las derivadas parciales:
\displaystyle \frac{\partial f(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f(x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)}{\Delta x_1}
Si la función es de una sola variable, se utiliza la derivada ordinaria:
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
Si el cambio es discreto en lugar de continuo, simplemente se omite el cálculo del límite que aparece en las derivadas.
EDO y EDP
Una ecuación que involucra una función y sus distintas derivadas se conoce como Ecuación Diferencial. Si estas derivadas son parciales u ordinarias, se denominan respectivamente Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) o Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). En este momento, nos centraremos en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y revisaremos algunos ejemplos en los que aparecen.
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
El enfriamiento de una taza de café
La tasa de enfriamiento de una taza de café es proporcional a la diferencia de temperatura entre el ambiente y el café. Si la temperatura del aire, T_a, es constante y la temperatura del café es una función del tiempo T_c=T_c(t),, podemos encontrar una ecuación diferencial que nos permitirá determinar la temperatura del café en cada momento. Inicialmente tenemos que:
\displaystyle \frac{dT_c(t)}{dt} = -\alpha^2(T_c(t) - T_a)
Donde \alpha es una constante de proporcionalidad, T_a \lt T_c(t) y el signo negativo indica que la temperatura del café está disminuyendo. Más adelante, veremos que esta ecuación tiene una solución de la forma:
T_c(t) = T_a + Be^{-\alpha^2 t}
Donde B es una constante a determinar.
Las Leyes de Newton
La Segunda Ley de Newton es, esencialmente, una ecuación diferencial ordinaria, ya que en la expresión F=ma (fuerza igual a masa por aceleración), la aceleración, a=d^2x(t)/dt^2,, es la segunda derivada temporal de la posición del objeto. Mediante esta ley, podemos encontrar relaciones que describen el movimiento de los cuerpos, que son en realidad ecuaciones diferenciales. Un ejemplo simple es el estudio de los resortes: si tenemos un resorte unido a una pared fija por un lado y a una masa por el otro en posición de equilibrio, y luego desplazamos la masa una distancia x de esa posición, por la ley de Hooke la masa sentirá una fuerza de restitución F=-kx. Luego, por la segunda ley de Newton, tendremos:
\displaystyle -kx(t) = m\frac{d^2x(t)}{dt^2}
Más adelante constataremos que su solución es de la forma:
\displaystyle x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)
Donde A y \phi son constantes que serán determinadas por las condiciones iniciales del problema.
Modelo de poblaciones
La tasa de crecimiento por habitante de una población es igual a la diferencia entre las tasas de nacimientos y defunciones, es decir:
\displaystyle \frac{1}{x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = N - M
Si la tasa de nacimientos N permanece constante en el tiempo y las muertes son proporcionales a la población, es decir M=\alpha^2 x(t),, entonces la ecuación anterior toma la forma:
\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \alpha^2 x(t))
Esto es conocido como «Ecuación Logística de las Poblaciones». A partir de esta ecuación, se puede construir una generalización para muchas poblaciones x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t) que compiten entre sí por existir de la siguiente manera:
\displaystyle \frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \left(N_i - \displaystyle \sum_{j=1}^n\alpha^2_{ij} x_j(t) \right)
Con i\in\{1,\cdots, n\}. Esto es lo que se conoce como Ecuaciones de Lotka-Volterra.
Conclusión
A lo largo de esta introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, hemos explorado cómo las matemáticas pueden capturar de manera precisa y elegante los cambios que ocurren en el mundo natural. Desde el enfriamiento de una taza de café hasta el movimiento de un resorte o el crecimiento de una población, las EDO permiten traducir dinámicas complejas en relaciones matemáticas comprensibles y analizables.
Comprender la estructura y el significado de estas ecuaciones abre la puerta a múltiples disciplinas, como la física, la biología, la economía y la ingeniería. Esta clase sienta las bases conceptuales necesarias para continuar con estudios más avanzados, donde se profundizará en técnicas de resolución, análisis cualitativo, y métodos numéricos. Lo más importante, sin embargo, es haber desarrollado una intuición inicial sobre cómo el lenguaje del cambio —las ecuaciones diferenciales— nos permite describir, entender y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos.
En las siguientes clases continuaremos desarrollando herramientas más potentes y aplicándolas a nuevos contextos. Las ecuaciones diferenciales no solo nos ofrecen un modo de analizar la realidad, sino también de imaginar cómo podría evolucionar bajo diferentes condiciones.