Ecuación de las Elipses y las Circunferencias

Resumen:
En esta clase se explica la obtención de la ecuación de las elipses a partir de su definición geométrica, que establece que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a dos focos fijos es constante. A través de un desarrollo algebraico detallado, se deduce la ecuación general de las elipses y su forma canónica, así como la conexión entre las elipses y las circunferencias, mostrando que una circunferencia es un caso particular de elipse cuando los semiejes son iguales.

Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de

Deducir la ecuación de las elipses a partir de su definición geométrica.
Reconocer la la forma general y la forma canónica de la ecuación de las elipses.

INDICE DE CONTENIDOS
Formulación geométrica
Obtención de la ecuación de las elipses
Ecuación general de las elipses
Ecuación canónica de las elipses
Reducción a la Ecuación de las Circunferencias

Formulación geométrica

Para obtener la ecuación que describe a las elipses, debemos razonar, como con las parábolas, sobre el significado geométrico de éstas. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano tal que la suma de las distancias entre estos y otros dos puntos que llamamos focos es siempre la misma.

Es decir, se cumplirá que:

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = constante$

Obtención de la ecuación de las elipses

A partir de la definición geométrica de las elipces podemos obtener una expresión algebraica que la describe. Para hacer esto con facilidad, recurriremos, sin embargo, a algunas simplificaciones. Consideraremos, sin perdida de generalidad, que los focos tienen posiciones $f_1 =(-c,0)$ y $f_2 =(c,0),$ de este modo, si un punto cualquiera $p=(x,y)$ forma parte de la elipse, entonces se tendrá que cumplir que

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

Donde $a\in\mathbb{R}$ es una constante fija. A partir de esto podemos construir el siguiente razonamiento

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	;Def. geométrica de elipse
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; elevando al cuadrado (1)
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; elevando al cuadrado (2)
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; El número representado por $b^2$ es positivo, esto se ve de la figura.
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; De (3) y (4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

Esto último es lo que llamamos «ecuación de las elipses».

Ecuación general de las elipses

La ecuación que acabamos de obtener se puede llevar a su forma general mediante transformaciones de traslacion haciendo al sustitución $x\longmapsto (x-h)$ e $y\longmapsto (y-k).$ Con esto llegamos a la forma general de la ecuación de las elipses

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

Esto es una elipse con centro en el punto $(h,k)$

Ecuación canónica de las elipses

Haciendo álgebra sobre esto se llega a la ecuación canónica de las elipses:

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; ecuación general de las elipses
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; Muliplicar todo por $a^2b^2$
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; desarrollar cuadrados
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; desarrollar paréntesis
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; agrupar términos constantes

Sobre esta última expresión podemos hacer las sustituciones $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ y $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ Así podremos ver que las elipses quedarán descritas por ecuaciones de la forma

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

Esto es lo que llamamos «Ecuación canónica de las elipses».

De estos desarrollos se pueden extraer algunas restricciones sobre las constantes de la ecuación canónica. La más importante es que $A$ y $B$ deben tener el mismo signo, en caso contrario ya no estaremos hablando de una elipse sino que de una hipérbola. Existen más restricciones sobre las constantes de la representación canónica, pero hablar de ellas ahora no es lo más eficiente, lo veremos en detalle cuando revisemos la caracterización de las elipses y las hiperbolas.

Reducción a la Ecuación de las Circunferencias

Una cosa que revisaremos cuando hablemos sobre la caracterización de las elipses es que las constantes $a$ y $b$ de la ecuación general se corresponden con los semiejes de la elipse. Si tomamos ambos semiejes y los igualamos, hacemos $a=b=r,$ entonces la elipse se transformará en una circunferencia de radio $r.$

Ecuación general de las circunferencias

De éste modo se obtiene la ecuación general de las circunferencias como:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Ecuación canónica de las circunferencias

De forma análoga, se obtiene la ecuación canónica de las circunferencias