Definición de dominio, recorrido y gráfico

Llegados a este punto ya hemos realizado un estudio bastante detallado sobre las funciones lineales, cuadráticas y similares. Estudiamos también curvas como las rectas, parábolas, elipses e hipérbolas y las operaciones con polinomios y funciones algebraicas en general. Con esto realizado, ahora será mucho más sencillo adentrarnos en aspectos un poco más fundacionales en torno a las funciones en general, que es lo que comenzaremos a revisar en esta ocasión introduciendo los conceptos de dominio, recorrido y gráfico.

Sea f una función definida entre los conjuntos A y B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

Los conjuntos A y B se dicen que son los conjuntos de «entrada» y «salida», respectivamente. Y a partir de estos se definen los siguientes conjuntos:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

Análisis de Ejemplos

Todo lo que se puede aprender sobre los conceptos de dominio, recorrido y gráfico, si bien es en esencia una cuestión teórica, su comprensión radica más en el desarrollo de ejemplos prácticos, que es lo que realizaremos justo ahora analizando los siguientes tres casos:

Calcular dominio, recorrido y gráfico de: f(x) = \sqrt{1-x^2}

Iniciemos este análisis escribiendo y=f(x). Si hacemos tal cosa, entonces obtendremos la ecuación

y = \sqrt{1-x^2}

Si esta expresión la elevamos al cuadrado, rápidamente llegaremos a una expresión que conducirá a cuestiones que ya conocemos

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

Es la ecuación de la circunferencia unitaria.

Sin embargo, debemos tener cuidado aquí, porque al elevar al cuadrado hemos «agregado algo de información». Algebraicamente existen dos valores que satisfacen la condición de «ser la raíz cuadrada de», sin embargo, en el punto de partida de este análisis, la raíz es especificada como una función, y estas sólo admiten un único resultado. Hablamos de la raíz principal. Por este motivo, el planteamiento original hace referencia sólo a la parte superior de la circunferencia, en lugar de la figura completa.

A partir de esta figura es claro que

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

Si bien he desarrollado este análisis desde una perspectiva gráfica, también es posible hacer esto desde un enfoque más analítico, para esto basta con revisar las operaciones involucradas.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

La parte 1-x^2 esta bien definida para todos los reales

En cambio, la raíz sólo admite valores mayores o iguales a cero

A partir de esto se tiene que:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

Por\,lo\,tanto:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

Los métodos analíticos para determinar el recorrido son en general mucho más complicados; los casos más sencillos se resuelven encontrando la función inversa, pero antes de revisar ese tema en detalle es conveniente primero estudiar la composición de funciones y otros casos más sencillos para tener una base firme. Mientras tanto, los métodos gráficos que revisaremos pronto cubrirán gran parte de las dificultades que implica determinar el recorrido.

Análisis para: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Una forma de encontrar rápidamente el dominio de la función es preguntando por los valores de x que «estropean la función». Es claro que la función sólo se estropea cuando el denominador se anula. Es decir:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

Como ningún número real puede satisfacer tal condicion, entonces es claro que

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

Determinar el gráfico es generalmente la forma más rápida de determinar el recorrido de una función; y para lograrlo, la división de polinomios será una buena herramienta.

Haciendo la división de polinomios llegaremos a que:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

De este modo, hemos separado la función original en dos partes mas sencillas más faciles de tratar y que llamamos «parte entera» y «fraccionaria». Graficar cada una de estas partes por separado es mucho más fácil que graficar la función original de una sola vez.

Análisis para: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

Un análisis algebraico ayudará a determinar rápidamente el dominio de esta función. Basta con notar que estará bien definida siempre que

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

Por lo tanto, es claro que Dom(h)=]-1,+\infty[.

Para encontrar el recorrido es conveniente esbozar el gráfico y para hacer esto de un modo simple utilizaremos una tabla de signos. La función h(x) se compone de dos partes

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

La parte de arriba se anula en x=1; La parte de abajo además de anularse en x=-1, se indetermina si x\lt-1. Con esta información se construye la siguiente tabla de signos:

Con la información desplegada en esta tabla, ahora es muy sencillo hacer el gráfico de la función.

Y con esto, determinar el dominio y el recorrido es ahora una cosa trivial:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

Ejercicio Propuesto

Utilizando las herramientas que acabamos de revisar, encuentra el dominio, recorrido y el gráfico de la siguiente función

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}