El Cálculo Variacional en la Mecánica Clásica y la Ecuación de Euler-Lagrange
Resumen:
En esta clase revisaremos la obtención de la ecuación de Euler-Lagrange de la Mecánica Analítica a través de la utilización de las técnicas del cálculo variacional y, a partir de esto, se mostrará en detalle su aplicación en la solución del problema de la Braquistócrona.
Objetivos de Aprendizaje:
Al concluir esta clase el estudiante será capaz de:
- Comprender el principio de Hamilton de la mínima acción
- Demostrar la ecuación de Euler-Lagrange
- Resolver el problema de la Braquistócrona usando la ecuación de Euler-Lagrange.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
EL POR QUÉ DEL CÁLCULO VARIACIONAL EN LA MECÁNICA CLÁSICA
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA VARIACIONAL
LA ECUACIÓN DE EULER-LAGRANGE
EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTÓCRONA
REPOSITORIO DE GITHUB CON ALGORITMO DE WOLFRAM
El por qué del cálculo variacional en la mecánica clásica
La física newtoniana presenta numerosos problemas que pueden abordarse de manera más efectiva utilizando el cálculo variacional. Este enfoque es fundamental en las ecuaciones de Lagrange y en el principio de mínima acción de Hamilton. En esencia, este método consiste en encontrar las trayectorias que maximizan o minimizan una cierta cantidad. Por ejemplo, se puede buscar la trayectoria entre dos puntos que minimice la distancia recorrida o el tiempo de viaje. Un ejemplo de este enfoque es el principio de Fermat, el cual establece que la luz sigue siempre la trayectoria que minimiza el tiempo de recorrido, lo que a su vez conduce a la ley de Snell de la refracción de la luz.
El cálculo variacional tiene múltiples ventajas en la mecánica clásica. Por ejemplo, permite obtener soluciones analíticas exactas para sistemas con simetría, y soluciones aproximadas a través de la teoría de perturbaciones variacionales para sistemas más complejos. Además, en situaciones donde resulta difícil expresar las fuerzas en términos de ecuaciones diferenciales, el principio de mínima acción proporciona un método más eficiente para resolver problemas en mecánica clásica. En resumen, el cálculo variacional es una herramienta fundamental que ofrece una formulación alternativa de las leyes de Newton, una unificación de las leyes de la física, mayor eficiencia en la resolución de problemas y mayor precisión en la predicción de resultados experimentales.
Formulación del problema variacional
El cálculo variacional se centra en encontrar la función y(x) que extremiza el valor del funcional:
J(x,y(x))=\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(x),\frac{dy(x)}{dx}\right)dx,
con el fin de encontrar su valor máximo o mínimo. En esta ecuación, el funcional J depende de la función y(x) y su derivada dy(x)/dx, mientras que los límites de integración permanecen fijos. Para extremar la integral, se aplican variaciones sobre la función y(x), buscando obtener la función que hace que el valor del funcional sea un extremo. Por ejemplo, si se logra que la integral alcance su valor mínimo, cualquier función dentro de su vecindad, sin importar lo cerca que esté de y(x), aumentará el valor del funcional.
Para establecer el concepto de función vecina, podemos asignar una representación paramétrica y=(\alpha,x) a todas las posibles funciones y, de manera que si \alpha=0, entonces y(0,x)=y(x) es la función que extremiza a J. Esto se puede expresar de la siguiente forma:
y(\alpha, x) = y(x) + \alpha \eta(x),
donde \eta(x) es alguna función de clase \mathcal{C}^1 que se anula en x_1 y x_2, de modo que la función y(\alpha,x) que incluye esta variación es idéntica a y(x) en los puntos iniciales y finales de la trayectoria de integración.
Al sustituir la función y(\alpha,x) que incluye la variación \eta(x) en lugar de y(x) en la integral que define el funcional J, se obtiene un nuevo funcional que depende del parámetro \alpha:
J(x,y(\alpha, x)) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x), \dfrac{d}{dx}y(\alpha,x)\right)dx
Para que existan extremos locales, es necesario que se cumpla la condición:
\left.\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0
para cualquier función \eta(x).
La Ecuación de Euler-Lagrange
Al analizar la derivada \partial J(x,y(\alpha,x))/\partial \alpha, se obtiene:
\begin{array}{rll} {}\dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=&\dfrac{\partial}{\partial \alpha} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f\left(x,y(\alpha,x),\dfrac{dy(\alpha, x)}{dx}\right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)}\dfrac{\partial y(\alpha, x)}{\partial \alpha} + \dfrac{\partial f }{ \partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}}{\partial \alpha}\right)dx \end{array}
A partir de este punto es importante notar que:
\begin{array}{rll} \dfrac{\partial x}{\partial \alpha} &=& 0 \\ \\ \dfrac{\partial y(\alpha,x)}{\partial \alpha} &=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(y(x) + \alpha \eta(x) \right) = \eta(x) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \alpha}\left( \dfrac{dy(\alpha, x)}{dx} \right)&=& \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \left(\dfrac{dy(x)}{dx} + \alpha\dfrac{d\eta(x)}{dx} \right) = \dfrac{d\eta}{dx} \end{array}
Por lo que la expresión se reduce como se muestra a continuación:
\begin{array}{rll} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) + \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} \right)dx \\ \\ &=&\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha,x)}\eta(x) dx + \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta(x)}{dx} dx \end{array}
Luego, si observamos la segunda integral, veremos que se puede simplificar utilizando integración por partes:
\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \dfrac{d\eta}{dx} dx &=& \left. \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \eta(x)\right|_{x_1}^{x_2} - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right) dx\\ \\ &=& - \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha, x)}{dx}} \right)dx \end{array}
Y por lo tanto
\begin{array}{rll} {} \dfrac{\partial J(x,y(\alpha,x))}{\partial \alpha} &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \eta(x) \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \eta(x) \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right]dx \\ \\ &=& \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial y(\alpha, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(\alpha,x)}{dx}} \right) \right] \eta(x) dx \end{array}
Así que, por la condición de que \left.\dfrac{\partial J (x,y(\alpha, x))}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} = 0, y como \eta(x) es una función cualquiera sujeta a la única condición de anularse en x_1 y x_2, se tiene:
\dfrac{\partial f}{\partial y(0, x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(0,x)}{dx}}\right) = \dfrac{\partial f}{\partial y(x)} - \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial \frac{dy(x)}{dx}}\right) = 0.
Finalmente, «descargando la notación» en esta última expresión se llega a lo que se conoce como Ecuación de Euler-Lagrange:
\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}= \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y^\prime} \right)},
y esto representa de una forma mucho más sencilla la condición necesaria para que el funcional J alcance un valor extremo.
El problema de La Braquistócrona
Formulación del problema
El problema de la braquistócrona es un clásico de la física mecánica que se resuelve mediante el cálculo variacional. La situación planteada es la siguiente: Supongamos que tenemos un objeto material que se mueve bajo el efecto de un campo de fuerzas constante y que se desplaza desde un punto inicial (x_1,y_1) a otro punto final (x_2,y_2), donde el punto inicial se encuentra a una mayor altura que el punto final. La pregunta que se plantea es: ¿Cuál es la trayectoria que la partícula debe seguir para llegar al punto final en el menor tiempo posible?
Formulación de la solución
Para resolver el problema de la braquistócrona, es útil considerar la situación de forma simple. Por lo tanto, se puede fijar el punto de partida (x_1, y_1) en el origen de coordenadas, mientras que el punto de llegada (x_2,y_2) se encuentra a la derecha del origen y por debajo del eje \hat{x}.
En esta situación, se puede considerar un campo de fuerza que actúa hacia abajo (en la dirección -\hat{y}) generado por la gravedad, y suponer que el movimiento se realiza sin fricción. En este contexto, se restringe la partícula a seguir diferentes trayectorias que conectan los puntos de salida y llegada con el objetivo de encontrar cuál de ellas minimiza el tiempo de viaje.
Examinando la energía
Para resolver este problema, podemos aprovechar la conservación de energía del sistema gravitacional. La energía total del sistema permanecerá constante, considerando tanto la energía cinética E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2 como la energía potencial gravitatoria E_{pot,g}, donde m es la masa de la partícula y v es su velocidad. Para la energía potencial se ha tomado como referencia el origen, de modo que E_{pot,g}(y=0)=0, mientras que en cualquier otra altura y se tiene que E_{pot,g}(y)=mgy.
Como la partícula parte del origen con velocidad cero, su energía total es igual a cero. Entonces, se tiene:
E_{cin} + E_{pot,g}=0
Como la partícula cae por debajo del punto de referencia, su energía potencial será negativa y su energía cinética será positiva. De esta manera, podemos despejar la velocidad v a partir de la ecuación de conservación de energía y obtener:
\begin{array}{rl} {} &\dfrac{1}{2}mv^2 + (-mgy) = 0 \\ \\ \vdash &\dfrac{1}{2}mv^2 = mgy \\ \\ \vdash &v^2 = 2gy \\ \\ \vdash &v = \sqrt{2gy} \end{array}
De esta forma, podemos calcular la velocidad de la partícula en cualquier punto de su trayectoria en función de la altura y a la que se encuentre.
Examinando el tiempo de trayecto
Una vez que hemos obtenido la rapidez de movimiento, podemos construir el elemento de tiempo de recorrido utilizando el elemento de desplazamiento ds=\sqrt{dx^2 + dy^2} de la siguiente manera:
\begin{array}{rl} {} dt &= \dfrac{ds}{v} = \dfrac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{\sqrt{2gy}}\\ \\ &= \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy} } \end{array}
De modo que el tiempo de desplazamiento entre los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2) se puede obtener integrando
\begin{array}{rl} {} t &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dt \\ \\ &= \displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} \sqrt{\dfrac{dx^2 + dy^2}{2gy}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2g}}\int_{y_1}^{y_2} \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 }{y}}dy \\ \\ \end{array}
Formulación del problema variacional
Con esta última expresión hemos logrado expresar el tiempo como un funcional de la forma
{}t = J(y,x(y)) = \displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f\left(y,x(y),\dfrac{dx(y)}{dy} \right) dy
donde
f\left(y,x(y), \dfrac{dx(y)}{dy}\right) = \sqrt{\dfrac{1+ \left(\dfrac{dx(y)}{dy} \right)^2}{y}}
En este punto podemos pasar por alto el factor \sqrt{2g}, porque optimizar J es exactamente lo mismo que optimizar \sqrt{2g}J.
Con lo anterior, podemos ahora construir la ecuación de Euler-Lagrange siguiendo el mismo procedimiento utilizado anteriormente, llegando finalmente a:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{d}{dy} \dfrac{\partial f}{\partial x^\prime}
Sin embargo, aquí podemos ver que \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, por lo que se tendrá que
\dfrac{d}{dy}\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = 0,
o en otras palabras
\dfrac{\partial f}{\partial x^\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}},
donde a es una constante arbitraria escrita de esa manera porque es «conveniente» para desarrollos posteriores.
Resolución del problema variacional
Al sustituir la función f en esta última expresión se tiene:
\begin{array}{rl} {} &\dfrac{\partial }{\partial x^\prime} \sqrt{\dfrac{1+ x^{\prime 2}}{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 + x^{\prime 2} }{y} \right)^{-1/2} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{1 + x^{\prime 2}}} \left(\dfrac{2x^\prime}{y} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ \\ \vdash & \sqrt{\dfrac{4x^{\prime 2} y}{4y^2 (1 + x^{\prime 2})} } = \sqrt{\dfrac{1}{2a}} \\ \\ \vdash & \dfrac{y x^{\prime 2} }{y^2 (1 + x^{\prime 2})} = \dfrac{1}{ 2a} \\ \\ \vdash & 2ayx^{\prime 2} = y^2 + y^2 x^{\prime 2} \\ \\ \vdash & x^{\prime 2} (2ay - y^2) = y^2 \\ \\ \vdash & \left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2 = \dfrac{y^2}{2ay - y^2} \\ \\ \vdash & \dfrac{dx}{dy} = \pm \sqrt{\dfrac{y^2}{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & dx = \pm \dfrac{y\,dy}{\sqrt{2ay - y^2}} \\ \\ \vdash & x = \displaystyle \pm \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}\,dy \end{array}
Para resolver esta integral, una opción a considerar es la realización de la siguiente sustitución
\begin{array}{rl} {} y &= a[1-\cos(\theta)] \\ dy &= a\sin(\theta) d\theta \end{array}
Con esto se tiene:
\begin{array}{rl} {} x= & \pm \displaystyle \int \dfrac{y}{\sqrt{2ay - y^2}}\,dy = \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]a\sin(\theta)}{\sqrt{2a^2[1-\cos(\theta)] - a^2[1-\cos(\theta)]^2 }}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a^2[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{a^2[1-\cos(\theta)]\left\{ 2 - [1-\cos(\theta)] \right\} }}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{[1-\cos(\theta)] [1 + \cos(\theta)] }}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sqrt{ 1-\cos^2(\theta)}}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int \dfrac{a[1-\cos(\theta)]\sin(\theta)}{\sin(\theta)}\,d\theta \\ \\ & = \pm \displaystyle \int a[1-\cos(\theta)]\,d\theta \\ \\ & = \pm a(\theta - \sin(\theta)) + C \end{array}
Podemos observar que la curva braquistócrona se puede expresar como una curva paramétrica en coordenadas polares, que coincide con un cicloide que tiene su punto de partida en el origen.
\begin{array}{rl} {} x(\theta) &= \pm a(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= a(1-\cos(\theta)) \end{array}
La constante de integración C se ha anulado para satisfacer la condición inicial de que la trayectoria comienza en el origen. Además, podemos observar que hay un par de ecuaciones que brindan soluciones posibles al problema, donde la constante a se puede ajustar para que la curva pase por el punto (x_2,y_2) al final del recorrido. Estas ecuaciones son:
Opción 1: \boxed{\begin{array}{rl} {} x(\theta) &= a(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= a(1-\cos(\theta)) \end{array}}
Opción 2: \boxed{\begin{array}{rl} {} x(\theta) &= - a(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= a(1-\cos(\theta)) \end{array}}
La solución viable para este problema viene dada por la segunda opción, y ajustando la constante a como un valor negativo, obtenemos una curva que cumple con las condiciones necesarias para ser solución.
Ajuste final de la solución
Después de los últimos ajustes realizados, la curva braquistócrona tiene la forma paramétrica:
\begin{array}{rl} x(\theta) &= b(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &= -b(1-\cos(\theta)) \end{array}
Se sustituyó a=-b, donde 0\lt b. La curva tiene un período 2b\pi y debe cumplir con la condición x_2 \in ]0,2b\pi[ e y_2 \in ]-2b,0[. Esto último es crucial, porque exige que la curva braquistócrona se represente como un solo arco de cicloide, ya que la solución dejará de ser válida si la partícula regresa al reposo al volver a un punto de altura cero.
Para ajustar estas ecuaciones al problema, necesitamos encontrar los valores de \theta y b que satisfagan el sistema:
\begin{array}{rl} {} x_2 &= b(\theta - \sin(\theta))\\ y_2 &= - b(1-\cos(\theta)) \end{array}
Este sistema no lineal no parece tener soluciones analíticas, por lo que utilizaremos métodos numéricos en Wolfram Mathematica. A continuación, se presenta una serie de pasos para resolver el problema:
Paso 1: Establecer sistema
Establecer las ecuaciones que forman el sistema a resolver
eq1 = x2 == b*(theta - Sin[theta])
eq2 = y2 == -b*(1 - Cos[theta])
Paso 2: definir el punto de llegada
Establecer el punto al que llegará la partícula al final de su trayecto. En este caso lo estableceremos en (x_2,y_2)=(1,-2). Estos valores los puedes modificar para probar otras configuraciones semejantes.
x2val = 1; y2val = -2;
Paso 3: Calcular numéricamente los valores buscados
Usar la función «FindRoot» para calcular numéricamente la solución del problema
sol = FindRoot[{eq1, eq2} /. {x2 -> x2val, y2 -> y2val}, {{b,1}, {theta, 1}}]
Aquí se ha usado los valores b=1 y \theta=1 como punto de partida para la aproximación numérica de la solución. Con esto, se obtiene como solución b\approx 2.4056 y \theta \approx 1.40138
Paso 4: Corroboración de resultados
Recordemos que, para que estas respuestas tengan sentido físico, es necesario que x_2 \in ]0,2b\pi[ e y_2 \in ]-2b, 0[. Podemos corroborar que esto ocurre así rápidamente a través del siguiente procedimiento
Primero extraemos los valores de b y \theta obtenidos como solución
bval = sol[[1, 2]]; thetaval = sol[[2, 2]];
Y luego ordenamos que se realice la confirmación
If[0 < x2val < 2*Pi*bval && -2*bval < y2val < 0, "Valores válidos", "Valores inválidos"]
Si todo ha salido bien, deberíamos obtener "valores válidos" en la salida. Este trozo de código te ayudará a revisar si la situación física está modelada correctamente.
Con estos procedimientos tenemos por fin completamente ajustada nuestra curva solución, que conecta los puntos (x_1,y_1)=(0,0) y (x_2,y_2)=(1,-2). La curva resultante es:
\begin{array}{rl} {} x(\theta) &\approx 2.4056(\theta - \sin(\theta)) \\ y(\theta) &\approx -2.4056(1-\cos(\theta)) \end{array}\;\;;\theta\in [0, 1.40138]
Que gráficamente se ve así:
Repositorio de Github con algoritmo de Wolfram
El código completo de la solución al problema de la braquistócrona, incluyendo el algoritmo desarrollado en Wolfram Mathematica, está disponible para su descarga y consulta en mi repositorio de GitHub. Este repositorio incluye un archivo .nb con el código en formato de notebook interactivo, así como una versión en texto plano .m para aquellos que prefieren ver el código directamente.
Puedes descargar el repositorio desde GitHub aquí.
Además del código, el repositorio contiene un archivo "README" con instrucciones detalladas sobre cómo usar y entender el algoritmo, así como una explicación paso a paso de la solución al problema de la braquistócrona. ¡Espero que lo encuentres útil!