Conceptus campi electrici
Saeculo XIX, Michael Faraday, unus ex maximis experimentatoribus in campo electricitatis, more peculiari utebatur: officinam suam implebat filis, sphaeris onustis et parvis vasis liquidis conductoribus. Famosa narratio tradit eum, in cupiditate sua “lineas virium” circum onus electricum visibiliter ostendendi, limaturas ferri per totam officinam dispersisse, pavimentum relinquentem vestigiis quae artem modernam imitari videbantur. Collegae eius, perplexi, putaverunt eum mentem amisisse, sed Faraday unum e conceptibus maxime revolutionariis delineabat: campum electricum. In hoc articulo explorabimus quomodo hae ideae, ex ingenio et experimentis ortae, nobis sinant invisibiles interactiones, quae electricitatem regunt, describere et intellegere. Si umquam quaesivisti quomodo res intangibiles videri possint, hic cursus tibi destinatur.
Proposita Discendi:
Ad finem huius lectionis discipulus poterit
- Intellegere conceptum campi electrici eiusque relationem cum vi electrica per Legem Coulombianam.
- Applicare definitionem campi electrici ad solvenda problemata ad onera punctalia pertinentia.
- Analyzare principium superpositionis in distributionibus discretis et continuis onerum ad campos electricos computandos.
- Aestimare integrationem distributionum linearum, superficialium et volumetricarum ad campos electricos in configurationibus complexis determinandos.
- Solvere exercitationes practicas quae includunt configurationes vectis onustae, anuli onusti et plani infiniti onusti.
INDEX CONTENTORUM:
Quid est campus electricus?
Campus electricus et distributiones onerum
Exercitationes
Quid est campus electricus?
Cum fontem oneris in aliquo spatii loco ponimus, praesentiam eius sentire possumus utendo onere probatorio propter vim electricam quam iste sentit ob praesentiam. Hanc vim per Legem Coulombianam investigamus. Hoc innixi dicimus fontem oneris “spatium inundare” quadam proprietate, Campo Electrico, qui vim electricam producere responsalis est.
Ad campum electricum oneris q in certo loco \vec{r} spatii metiendum, necesse est onus probationis q_0 ibi collocare. Campus electricus describetur ut quantitas vis electricae quam onus probationis q_0 sentit per unitatem oneris.
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
At vero cum hoc modo procedimus, neglegimus quod etiam onus probationis proprium campum electricum habere debet, qui cum campo fontis onerum superponetur. Ad hanc quaestionem solvendi, de campo electrico loquimur per limitem:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Definitone per limitem utens, curamus ut campus oneris probationis q_0 mensurationibus campi oneris q non intersitet. Nunc, Legem Coulombianam recolentes, campus electricus particulae onustae q ita se habet:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
Et, ex hoc habetur quod
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
Campus electricus et distributiones onerum
Quoniam campus electricus secundum vim investigatur, et hic principiis superpositionis satisfacit, possumus campos diversarum distributionum onerum examinare.
Distributiones discretae
Consideremus distributionem n onerum discretorum q_1, q_2, \cdots, q_n cum positionibus \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. Si volumus campum earum in aliquo loco \vec{r} spatii computare, tum habebitur:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
Id est, summa omnium camporum singularium.
Distributiones continuae
Tria genera distributionum continuarum onerum exstant, unumquodque numero parametronum necessariorum ad dispositionem spatialem describendam associatum. Hae sunt distributiones lineares, superficiales et volumetricae.
Distributio linearis
In distributione lineari oneris, unumquodque elementum lineae corporis onusti densitatem linearem oneris habet \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl, ita ut elementum campi electrici sit huiusmodi.
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Deinde, si hanc expressionem integramus, habetur:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Ubi \mathcal{C} est repraesentatio parametrica curvae quae figuram corporis onusti describit.
Distributio superficialis
In distributione superficiali oneris, unumquodque elementum superficiei corporis onusti densitatem superficialem oneris habet \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS, ita ut elementum campi electrici huiusmodi sit.
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Deinde, si hanc expressionem integramus, habetur:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Ubi \mathcal{A} est repraesentatio parametrica superficiei quae figuram corporis onusti describit.
Distributio volumetrica
In distributione volumetrica oneris, unumquodque elementum voluminis corporis onusti densitatem volumetricam oneris habet \rho(\vec{r}_i^\prime)=dq(\vec{r}_i^\prime)/dV, ita ut elementum campi electrici huiusmodi sit.
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Deinde, si hanc expressionem integramus, habetur:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Ubi \mathcal{V} est repraesentatio parametrica voluminis quae figuram corporis onusti describit.
Exercitationes:
Barra onusta
Consideretur barra longitudinis L uniformiter onusta cum onere Q et verticaliter posita. Determina campum electricum barrae ad distantiam horizontalem x a centro barrae.
Anulus onustus
Consideretur anulus radii R uniformiter onustus cum onere Q in plano xy positus. Determina campum electricum statim ad altitudinem z a centro anuli.
Planum infinitum onustum
Consideretur planum infinitum uniformiter onustum cum densitate superficiali oneris \sigma. Determina campum electricum ad distantiam L a plano.