مشتقات كثيرات الحدود والدوال المثلثية واللوغاريتم

المشتقة هي أداة محورية في حساب التفاضل، ولها تطبيقات أساسية في العلوم والهندسة والاقتصاد. يقدم هذا المقال دليلاً تدريجياً لإتقان اشتقاق الدوال، بدءًا من كثيرات الحدود وحتى الدوال المثلثية واللوغاريتمية. ومن خلال البرهان والأمثلة الملموسة، يسعى هذا المقال إلى توضيح كيفية تطبيق قواعد الاشتقاق وفهم الأساس النظري لها.

أهداف التعلم

1. فهم المفهوم العام للمشتقة وخصائصها الأساسية.
2. تطبيق التعريف الرسمي للمشتقة لحساب المشتقات الأساسية.
3. إثبات مشتقة الدوال الثابتة ودالة الهوية باستخدام النهايات.
4. استخلاص قواعد اشتقاق الدوال المثلثية انطلاقًا من المشتقات الأساسية للجيب وجيب التمام.
5. حساب مشتقات الدوال المثلثية المركبة باستخدام القواعد الجبرية.
6. إثبات مشتقة اللوغاريتم الطبيعي بطريقة رسمية باستخدام النهايات.

فهرس المحتويات:
مشتقة الدوال الجبرية
مشتقات الدوال المتسامية

حتى الآن، قمنا فقط بمراجعة ما هي المشتقة وبعض خصائصها الجبرية، لكننا لم نتحدث عن كيفية حسابها. هنا سنعالج هذه المسألة من خلال عرض كل تقنية من تقنيات الاشتقاق، وكيفية استخلاصها لكل حالة.

مشتقة الدوال الجبرية

الدالة الثابتة

إذا كانت f(x) = c, حيث c عددًا حقيقيًا ثابتًا، فإنه يكون:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{d}{dx}c = 0

البرهان: في الواقع، هذا البرهان يتم في خطوة واحدة فقط:

\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}c &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{c - c}{\Delta x} \quad \text{؛ تعريف المشتقة لـ $f(x)=c$} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0 \end{array}

دالة الهوية

إذا كانت f(x) = x, فإن:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx}{dx}=1

البرهان: مشابه للغاية للبرهان السابق، ويُستنتج في خطوة واحدة كذلك:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x &= \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} \quad \text{؛ تعريف المشتقة لـ $f(x) = x$} \\ \\ & &=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1 \end{array}

الأسس الطبيعية

إذا كانت f(x) = x^n, حيث n عددًا طبيعيًا كيفما كان، فإنه سيكون:

\displaystyle \frac{df(x)}{dx} =\frac{dx^n}{dx} =nx^{n-1}

البرهان: لإثبات هذه المبرهنة، يجب أن نستخدم مبرهنة ذات الحدين لنيوتن

\begin{array}{rll} (1) &\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x} &\text{ ؛ تعريف النهاية لـ $f(x)= x^n$} \\ \\ & \displaystyle \phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{؛ مبرهنة ذات الحدين لنيوتن، على (1)} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle x^n + \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right] - x^n}{\Delta x} & \text{؛ فصل الحد الأول من المجموع} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k} \right]}{\Delta x} & \text{؛ إلغاء الحدود المتشابهة} \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[\sum_{k=1}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \\ \\ & \displaystyle\phantom{\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} =\lim_{\Delta x \to 0} \displaystyle \left[ {{n}\choose{1}} x^{n-1}(\Delta x)^{0} + \sum_{k=2}^n {{n}\choose{k}} x^{n-k}(\Delta x)^{k-1} \right] & \text{؛ استخراج الحد الأول من المجموع} \\ \\ & \displaystyle \color{blue} {\displaystyle \dfrac{d}{dx}x^n} = n x^{n-1} & \color{black} \end{array}

الأسس الصحيحة

البرهان الذي تم عرضه للتو يبرهن فقط على الحالة التي تكون فيها الأسس أعدادًا طبيعية، ولكن يمكن توسيعه ليشمل أي عدد صحيح. إذا كان a\in \mathbb{Z}، فإننا نحصل على:

\displaystyle \frac{dx^a}{dx} = ax^{a-1}

نحن نعلم بالفعل أن هذه القاعدة تنجح في حالة الأعداد الصحيحة الموجبة، لذا يكفي أن نرى ما يحدث عندما نأخذ أسسًا سالبة. وبذلك، يكون كافيًا أن نبرهن أنه يتحقق:

\displaystyle \frac{dx^{-n}}{dx} = {-n}x^{-n-1}

البرهان: لإثبات ذلك، يكفي أن نأخذ مشتقة الكسر:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}x^{-n} &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x^n}\right) \\ \\ & &= \dfrac{0 \cdot nx^{n-1} - nx^{n-1} \cdot 1}{x^{2n}}\\ \\ & &= -nx^{n-1-2n} \\ \\ & &= -nx^{-n-1} \end{array}

مشتقات الدوال المتسامية

الدوال المثلثية

تشمل هذه القواعد التالية لمشتقات الدوال:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)
\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = -\csc(x)\cot(x)
\displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)	\displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = -\csc^2(x)

للحصول على كل من هذه القواعد، فإن أفضل طريق هو البدء بمشتقات دالتي الجيب وجيب التمام؛ ومن ثم، باستخدام جبر المشتقات، يمكن اشتقاق القواعد لباقي الدوال المثلثية.

برهان مشتقة دالة الجيب

\begin{array}{rll} (1) &\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} & \text{؛ تعريف مشتقة الجيب} \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(\Delta x) + \sin(\Delta x)\cos(x) - \sin(x)}{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin(x)\left[\cos(\Delta x) -1\right] + \sin(\Delta x)\cos(x) }{\Delta x} & \\ \\ &\phantom{\dfrac{d}{dx}\sin(x)} = \displaystyle \sin(x)\lim_{\Delta x \to 0} \left[\dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \right] & \\ \\ (2)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} = 1 & \text{؛ حسب مبرهنة الحصر (Sandwich)}\\ \\ (3)&\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \cdot \dfrac{\cos(\Delta x) + 1}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos^2(\Delta x) - 1}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin^2(\Delta x)}{\Delta x (\cos(\Delta x) + 1)} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\cos(\Delta x) + 1} & \\ \\ &\displaystyle\phantom{\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}} =- (1)\cdot(0) = 0 \\ \\ (4) &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \color{black} & \text{؛ من (1،2،3)} \end{array}

برهان مشتقة دالة جيب التمام

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx}\cos(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} & \text{؛ تعريف مشتقة جيب التمام} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x)\cos(\Delta x) - \sin(x)\sin(\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x) [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ [ \cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} - \sin(x) \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx}\cos(x)} = \cos(x) \cdot(0) - \sin(x)\cdot (1)\\ \\ &\color{blue}\dfrac{d}{dx}\cos(x) = - \sin(x) \color{black} \end{array}

مشتقات الظل، القاطع، القاطع المعاكس، والظل المعاكس

بما أن لدينا النتائج الخاصة بالجيب وجيب التمام، فإن الحصول على مشتقات الدوال المثلثية الأخرى يصبح الآن سهلًا للغاية.

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\tan(x) &= \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)} = \color{blue}\sec^2(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\sec(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)} \right) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} =\color{blue}\sec(x)\tan(x) \color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\csc(x) &= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right) = -\dfrac{cos(x)}{\sin^2(x)} =\color{blue} - \csc(x)\cot(x)\color{black}\\ \\ \dfrac{d}{dx} \cot(x) &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = \dfrac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\dfrac{1}{\sin^2(x)} =\color{blue} -\csc^2(x)\color{black} \end{array}

مشتقة الدوال اللوغاريتمية

مشتقة اللوغاريتم الطبيعي تُعطى بالعلاقة التالية:

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}

البرهان: انطلاقًا من تعريف المشتقة، نحصل على سلسلة الخطوات التالية:

\begin{array}{rll} (1) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left [\dfrac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} \right] &\text{؛ تعريف مشتقة اللوغاريتم الطبيعي} \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{\Delta x} \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right) \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \ln \left( \dfrac{x+\Delta x}{x} \right)^{\frac{1}{\color{red}x\color{black}} \frac{\color{red}x\color{black}}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x} \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ & \phantom{\dfrac{d}{dx} \ln(x)} =\dfrac{1}{x} \ln \displaystyle \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \dfrac{\Delta x}{x} \right)^{ \frac{x}{\Delta x} } \right] \\ \\ (2) & n=\dfrac{x}{\Delta x} & \text{؛ تبديل متغير} \\ \\ (3) & (\Delta x \to 0^+) \longrightarrow (n\to +\infty) \\ \\ (4) & \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \ln\left[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right] = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \color{blue}\dfrac{1}{x} \color{black} & \text{؛ من (1،2،3)} \end{array}

بهذا نكون قد استعرضنا خطوة بخطوة المشتقات الأساسية التي ينبغي على كل طالب إتقانها: من الدوال الجبرية البسيطة إلى أهم الدوال المتسامية مثل الدوال المثلثية واللوغاريتم الطبيعي. من خلال إتقان هذه البراهين ستتمكن من تطبيق قواعد الاشتقاق، وفهم أصلها وتبريرها الرسمي. تُعد هذه المعرفة أساسًا لمواجهة مشكلات أكثر تعقيدًا تتطلب تحليلًا دقيقًا للتغير.