Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen
Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtseinheit wird die formale Definition des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen eingehend untersucht. Ausgehend davon werden die wichtigsten Eigenschaften bewiesen, die zur Algebra der Grenzwerte führen.
Lernziele:
Am Ende dieser Einheit wird der Studierende in der Lage sein:
- Sich zu erinnern an die Definition des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen.
- Beweisen der Eigenschaften, die zur Algebra der Grenzwerte führen, durch \epsilon-\delta-Herleitungen.
- Berechnen von Grenzwerten reeller Funktionen mithilfe der Grenzwertalgebra und ihrer Eigenschaften.
INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung
Die intuitive Vorstellung des Funktionsgrenzwerts aus grafischer Sicht
Die formale Definition des Grenzwerts
Eigenschaften von Grenzwerten
Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er eindeutig
Grenzwertalgebra
Berechnung einfacher Grenzwerte
Einleitung
Was ist der Unterschied zwischen dem Studium der Algebra und der Geometrie im Vergleich zur Analysis?
Die Antwort auf diese Frage liefert uns das Konzept des Grenzwerts. In diesem Artikel wird daher der Grenzwert und seine Definition behandelt.
Das Wort „Grenzwert“ assoziieren wir normalerweise mit einer Art Grenze, wie dem Rand eines Intervalls mit Endpunkten \(a\) und \(b\) – unabhängig von seiner Natur.
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
oder wie mit der Gegenwart, die wir als Grenze zwischen Vergangenheit und Zukunft bezeichnen können. In ähnlicher Weise führt die Idee des Grenzwerts zu einem mathematischen Verständnis dieser intuitiven Vorstellung, sich asymptotisch einem bestimmten Punkt zu nähern.
Die intuitive Vorstellung des Funktionsgrenzwerts aus grafischer Sicht
Um die Vorstellung des Grenzwerts zu veranschaulichen, ist es hilfreich, mit der grafischen Darstellung einer Funktion zu beginnen und zu fragen, was mit f(x) geschieht, wenn sich x beliebig nahe an x_0 annähert.
Wenn x nahe bei x_0 liegt, dann existiert ein offenes Intervall mit Radius \delta und Mittelpunkt x_0, sodass x darin enthalten ist. Dies kann auf drei verschiedene Weisen dargestellt werden:
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
oder x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
In unserem Kontext sind dies drei verschiedene Arten, dasselbe auszudrücken; wobei die letzte, die gelesen wird als „x liegt in der offenen Kugel mit Zentrum x_0 und Radius \delta“, besser geeignet wäre für einen Topologiekurs, in dem dieses „Thema der Nähe“ viel gründlicher behandelt wird.
Wenn dies zutrifft, dann wird man feststellen, dass es ein weiteres offenes Intervall mit Mittelpunkt l und Radius \epsilon gibt, sodass f(x) darin enthalten ist, das heißt: |f(x) - l|\lt \epsilon.
Hieraus ergibt sich die grundlegende Idee des mathematischen Grenzwertbegriffs: Ein Grenzwert existiert, wenn gilt: Wenn 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, dann ist |f(x)-l|\lt \epsilon; und dieser Wert l ist der Grenzwert der Funktion, wenn sich x beliebig nahe an x_0 annähert.
Die formale Definition des Grenzwerts
Aus der soeben präsentierten intuitiven und grafischen Vorstellung lässt sich nun die formale Definition des Grenzwerts ableiten. Wir sagen, dass der Grenzwert existiert, wenn – unabhängig davon, welches \epsilon gegeben ist (also der Abstand zwischen f(x) und l) – stets ein \delta existiert, sodass aus 0 \lt|x-x_0|\lt \delta folgt, dass |f(x) - l|\lt \epsilon. Diese Idee, die anfangs schwer zu erfassen ist und weltweit bei den meisten Studierenden der Analysis Tränen hervorruft, lässt sich durch den folgenden Ausdruck zusammenfassen:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
Eigenschaften von Grenzwerten
Der Nutzen einer formalen Grenzwertdefinition liegt darin, dass wir nun daraus sowohl intuitive als auch weniger offensichtliche Eigenschaften ableiten können.
Bevor wir fortfahren, ist es zwar nicht zwingend erforderlich, aber sehr empfehlenswert, einige Konzepte der mathematischen Logik zu wiederholen, um die folgenden Beweise besser nachvollziehen zu können.
Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er eindeutig
Um diese Eigenschaft zu beweisen, bedienen wir uns der Technik des Widerspruchsbeweises. Wir beginnen mit der Definition der folgenden Menge von Prämissen:
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
Ausgehend davon können wir folgenden formalen Beweis aufbauen:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; Annahme |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge–Einführung(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); Monotonie(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; Weil L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); Mit (5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L \lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L^\prime \lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; Aus (1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; Gleiches Verfahren wie (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-Einführung (8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; Definition (10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; MP(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; Widerspruch(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
Aus diesem Beweis folgt: Wenn zwei Grenzwerte existieren, dann sind sie gleich, und somit ist der Grenzwert eindeutig.
Algebra der Grenzwerte
Mit dem bisher Gelernten haben wir das Wesentliche der mathematischen Idee des Grenzwerts behandelt. Aber das allein reicht bei Weitem nicht aus, um tatsächliche Berechnungen damit anzustellen – nur ein leidenshungriger Verrückter würde versuchen, die Definition des Grenzwerts direkt dafür zu verwenden. Um dieses Problem zu lösen, werden wir nun Techniken behandeln, die uns helfen, Grenzwerte tatsächlich zu berechnen.
Seien x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, und seien f und g reelle Funktionen, sodass gilt:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
Dann gelten die folgenden Eigenschaften:
Grenzwert der Summe und der Differenz von Funktionen
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
Beweis:
Betrachten wir die Menge der Prämissen \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, dann können wir daraus folgendes schließen:
| [/latex] | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; Def. |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; Aus (1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; Annahme |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; Analog zu (3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; aus (3,5) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; Dreiecksungleichung: (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; aus (6,7) |
| (8) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; Definition |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; aus (8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (10) | \gamma:= - \beta; Definition |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; Analog zu (10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; aus (11,12) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; aus (10,13) |
Grenzwert des Produkts von Funktionen
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
Dieser Beweis ist etwas schwieriger als der vorherige, aber nichts, was wir nicht mit ein paar drastischen Tricks lösen könnten. Mit demselben Prämissensystem \mathcal{H} wie im vorherigen Beweis lässt sich folgendes Argument aufbauen:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; Definition |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; Mit (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; Definition |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; Mit (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; Dreiecksungleichung + Spezialfall für \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; Aus (5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; Dreiecksungleichung + Spezialfall für \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; Aus (7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; Null addieren |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; Ausklammern | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; Dreiecksungleichung (9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; Aus (5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; Aus (11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; Aus (1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; Aus (11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; Aus (1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
Grenzwert der konstanten Funktion
Der Grenzwert der konstanten Funktion f(x)=c ist die Konstante c. Das heißt
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
Beweis
Der Beweis dafür ist tatsächlich einfach, denn es handelt sich um eine Tautologie. Es ist bereits bekannt, dass:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
Aber 0=|c-c|\lt \epsilon ist eine Tautologie für jedes positive Epsilon, sodass die Implikation ebenfalls eine Tautologie ist, und folglich ist auch der Ausdruck \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c eine Tautologie.
Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen
Jetzt sind wir in der Lage, die Regel für den Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen zu beweisen. Diese lautet:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
Dabei setzen wir wie bei den vorherigen Eigenschaften voraus, dass die Menge der Prämissen erfüllt ist
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
Beweis
Glücklicherweise müssen wir nun keine Beweise mehr wie die bisherigen führen, denn wir können jetzt direkt auf diese Resultate zurückgreifen, um unser Ziel zu erreichen. Doch vorher zeigen wir zunächst, dass
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Um dies zu zeigen, genügt es, die Regel für den Grenzwert eines Produkts zusammen mit dem Grenzwert einer konstanten Funktion zu verwenden. Man muss lediglich darauf achten, dass g(x) nicht null ist:
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
Daraus folgt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Schließlich ergibt sich nach der Regel für den Grenzwert eines Produkts:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
Dies gilt, sofern M ungleich null ist.
Grenzwert einer natürlichen Potenz
Diese Eigenschaft besagt, dass, wenn \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, dann gilt: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). Dies kann man mit vollständiger Induktion beweisen.
Beweis:
- Fall n=1: (Induktionsanfang)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. Das schließt den Induktionsanfang ab ✅
- Fall n=k: (Induktionsschritt)
Angenommen es gilt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (Induktionshypothese), wir zeigen nun, dass dann auch gilt \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} .
Es gilt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. Letzteres folgt aus der Produktregel für Grenzwerte.
Nach der Induktionshypothese gilt dann \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. Das schließt den Induktionsschritt ab ✅
- Daraus folgt: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
Grenzwert einer n-ten Wurzel
Analog zur Potenz gilt auch, dass \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
Beweis:
Mit der eben bewiesenen Potenzregel gilt:
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
Daher folgt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
Grenzwert von gebrochenen Potenzen
Mit den vereinten Kräften der letzten beiden Beweise können wir nun unseren letzten Beweis formulieren, nämlich: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). , der sich aus der Produktregel ergibt, denn \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p und \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
Grenzwert \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
Mit diesem Beweis schließen wir diese Welle von Beweisen ab, und zusammen mit den vorherigen können wir fortan eine große Anzahl von Grenzwerten nahezu intuitiv berechnen.
Es ist einfach zu zeigen, dass \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, denn damit dies zutrifft, muss gelten:
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
Laut der Definition des Grenzwerts muss es zu jedem Epsilon mindestens ein Delta geben, für das der Rest der Aussage erfüllt ist; es genügt also, ein solches Delta zu finden, um zu bestätigen, dass der Grenzwert tatsächlich wie behauptet ist. Dies ist jedoch offensichtlich, da jedes \delta\leq\epsilon diese Bedingung erfüllt. Daher gilt: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
Berechnung einfacher Grenzwerte
Dank all dieser gerade überprüften Theoreme können wir eine Vielzahl von Grenzwerten ziemlich intuitiv berechnen, als ob wir einfach die Funktion auswerten würden. Hier sind einige Beispiele:
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}