La Derivada como el Límite de una Función
Resumen:
En esta clase exploraremos el concepto de derivada como la herramienta matemática para analizar cambios en funciones. Partiremos de la pendiente de una recta secante y, al tomar el límite cuando los puntos se acercan, definiremos la derivada como la pendiente de la tangente. Además, estudiaremos sus propiedades clave y reglas, como las de suma, producto y cociente, fundamentales para aplicar las derivadas en el análisis de funciones y fenómenos de cambio.
Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de:
- Comprender la derivada como el límite que describe el cambio instantáneo en una función y como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
- Explicar cómo la derivabilidad implica continuidad en funciones.
- Demostrar las reglas básicas de derivación a partir de la definición formal.
- Utilizar las propiedades del álgebra de las derivadas (suma, producto y cociente) en problemas matemáticos.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
El concepto de derivada
La pendiente de la recta secante
Paso al límite: La derivada y la pendiente de la recta tangente
Definición alternativa
Propiedades de las Derivadas
Derivabilidad implica continuidad
Álgebra de las derivadas
El concepto de derivada
La naturaleza es en general suceptible de cambio, y la herramienta matemática por excelencia para calcular y comprender el cambio es la Derivada. Esta surge de preguntarse «¿qué pasará con el valor de una función f(x) cuando la variable x es incrementada o disminuida en una cantidad tan pequeña como queramos \Delta x?». El concepto de derivada emerge como el límite de una función al analizar esa pregunta.
La pendiente de la recta secante
Consideremos una función f(x) evaluada en dos puntos x_0 y x_0 + \Delta x. Toda recta que corta dos puntos de una curva se llama «recta secante» y se ve como lo que aparece en la figura.
Esta recta secante en particular tiene pendiente
\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Paso al límite: La derivada y la pendiente de la recta tangente
Si consideramos la recta secante a la curva y=f(x) que pasa por x_0 y x_0 + \Delta x, y luego tomamos el límite en que \Delta x tiende a cero, lo que obtendremos es la recta tangetente a la curva que pasa por (x_0, f(x_0)).
A partir de esto emerge la definición formal de la derivada de una función f(x) en un punto x_0 como el límite
\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
que a su vez representa la pendiente de la recta tangente que pasa por x_0.
Definición alternativa
Una forma alternativa de presentar la definición de derivada como un límite se obtiene a partir de la siguiente sustitución:
\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}
Con esto tendremos que \Delta x = x_f - x_i y la definición de la derivada quedará de la forma
\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}
Ambas definiciones son equialentes y se puede alternar en su uso según sea conveniente.
Propiedades de las Derivadas
Se dice que una función es derivable en x_0 cuando existe el límite
\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Y diremos que es derivable en un conjunto I si el límite está bien definido para todos los x_0\in I. Las funciones deribables tienen las siguientes propiedades:
Derivabilidad implica continuidad
Si una función es derivable en x_0, entonces es continua en x_0. Esto lo podemos demostrar a través del siguiente argumento.
Para que f(x) sea continua en x_0 es necesario que se cumpla que:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)
Si examinamos el lado izquierdo de esta expresión tendremos que:
\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ \end{array}
De aquí se tiene que, para que f(x) sea continua en x_0 es necesario que el límite de la derecha esté bien definido; y tal cosa ocurre si y sólo si
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\dfrac{df(x_0)}{dx}
En otras palabras, si f(x) es derivable en x_0. En consecuencia, si f(x) es derivable en x_0, entonces es contínua en ese punto.
Álgebra de las derivadas
Sean f y g funciones derivables en para todas la x\in I, y sean \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Entonces se tiene que:
- \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
- \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
- Si g(x)\neq 0, entonces \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}
Como podemos ver, el álgebra de las derivadas no es tan intuitiva como podría parecer a primera vista; sin embargo, la demostración de estas propiedades se pueden inferir sin mucha dificultad desde la definición de las derivadas como límites.
DEMOSTRACIÓN:
La demostración de la derivada de la suma nos queda siguiendo el siguiente razonamiento:
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}
Por otro lado, la demostración de la derivada del producto es un poco más complicada, pero nada del otro mundo:
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}
Aquí se ha aprovechado el hecho de que al ser g una función derivable, entonces es contínua y por lo tanto \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x), para luego concluir la demostración usando el álgebra de límites.
Finalmente, para la demostración de la derivada de la división, podemos aprovechar el resultado de la derivada de la multiplicación. Consideremos una función de la forma k(x) = f(x)/g(x), con g(x)\neq 0. A partir de esto se tendrá que:
\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
Ahora, despejando \dfrac{dk(x)}{dx} se tiene:
\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}
Y por lo tanto:
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}
que es lo que se quería demostrar.