Un Modelo Simple del Mercado:
Nociones y Suposiciones Elementales
Resumen:
Esta clase introduce el «Modelo Simple del Mercado», un enfoque que facilita el aprendizaje de conceptos clave de inversión, combinando activos sin riesgo (bonos, con retorno conocido) y activos de riesgo (acciones, con retorno incierto). Veremos cómo estos activos pueden combinarse en un portafolio que, gestionado correctamente, permite obtener retornos superiores a los intereses bancarios, equilibrando crecimiento y seguridad. Además, aprenderemos a calcular el retorno de estos activos en una línea de tiempo simplificada (presente y futuro) y analizaremos supuestos de mercado como la aleatoriedad de precios y la solvencia, para tomar decisiones informadas sobre inversión y riesgo.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de
- Reconocer las características de un Modelo Simple del Mercado, de los activos de riesgo y sin riesgo en la toma de decisiones de inversión.
- Comprender la diferencia entre activos de riesgo y sin riesgo, identificando cómo cada uno afecta el retorno y el riesgo en un portafolio.
- Aplicar fórmulas para calcular el retorno de inversión en activos de riesgo y sin riesgo, utilizando precios iniciales y finales.
- Analizar la construcción de portafolios que combinan activos de riesgo y sin riesgo para optimizar el retorno mientras se gestiona el riesgo en un modelo simple del mercado.
- Evaluar el impacto de escenarios de mercado en el valor y retorno de un portafolio, considerando las variaciones en el precio de los activos.
- Aplicar la probabilidad para calcular el retorno esperado en situaciones de mercado inciertas, determinando posibles resultados financieros.
INDICE DE CONTENIDOS
Introducción
Definiciones y Suposiciones Teóricas
Activos de Riesgo y Activos Sin Riesgo
Escala de Tiempo en el Modelo
Retorno de una Inversión
Construcción y Valoración de un Portafolio
Suposiciones Básicas del Modelo
Problemas Resueltos
Ejercicios Propuestos
Introducción
Imagina que acabas de recibir una bonificación en tu trabajo y has ahorrado una cantidad considerable en el banco. Sin embargo, al observar las tasas de interés actuales y el impacto de la inflación, te preocupa que el poder adquisitivo de tus ahorros disminuya con el tiempo. Quieres que tu dinero no solo se conserve, sino que también crezca.
Has oído que invertir en acciones y bonos puede ser una buena forma de hacer crecer el dinero. Sabes que algunos activos, como los bonos, son seguros, mientras que otros, como las acciones, ofrecen mayores rendimientos pero conllevan más riesgo. Te preguntas si podrías combinar ambos tipos de activos en una estrategia que te permita ganar más que los intereses bancarios, sin asumir un riesgo excesivo.
Decides investigar y encuentras un enfoque llamado «Modelo Simple del Mercado», que facilita el aprendizaje de los conceptos básicos de activos de riesgo y sin riesgo, retornos y construcción de portafolios. Este modelo es ideal para principiantes, ya que simplifica el análisis financiero al enfocarse en dos puntos en el tiempo: el presente y un momento futuro.
Con esta motivación, decides aprender más sobre cómo calcular el retorno de una inversión y construir un portafolio que maximice tus retornos. A medida que avanzamos, exploraremos estos conceptos en profundidad para que puedas tomar decisiones informadas y gestionar mejor tus finanzas personales.
Ahora que estás listo, vamos a sumergirnos en el conocimiento teórico que necesitas para comprender este modelo de mercado y aplicarlo a tus propias decisiones de inversión.
Definiciones y Suposiciones Teóricas
Activos de Riesgo y Activos Sin Riesgo
Para comenzar a entender el modelo simple del mercado, necesitamos familiarizarnos con los conceptos de activos de riesgo y activos sin riesgo. Estos dos tipos de activos forman la base de la mayoría de las estrategias de inversión.
Un activo sin riesgo es un tipo de inversión cuyo retorno es conocido y seguro. Un ejemplo clásico de activo sin riesgo es un bono emitido por el gobierno o por una institución financiera estable, que garantiza un pago de interés fijo al final de un período. Estos bonos pueden verse como depósitos en una cuenta bancaria o instrumentos de deuda que ofrecen un retorno predecible y estable.
Por otro lado, un activo de riesgo es aquel cuyo precio futuro es incierto y puede variar, tanto al alza como a la baja. Un ejemplo común de activo de riesgo son las acciones de empresas que cotizan en bolsa. Las acciones pueden ser volátiles y su precio depende de múltiples factores, lo que hace que su valor en el futuro sea impredecible.
Escala de Tiempo en el Modelo
En el modelo simple del mercado, restringimos el análisis a solo dos instantes en el tiempo: el presente, que llamamos t = 0 , y un momento futuro, como un año después, que llamamos t = 1 . Este enfoque simplificado permite analizar los cambios en el valor de los activos sin entrar en una complejidad excesiva.
Este modelo de dos puntos en el tiempo es especialmente útil para principiantes, ya que facilita la comprensión de cómo cambian los precios de los activos en el tiempo y cómo estos cambios afectan al valor de un portafolio.
Retorno de una Inversión
El retorno es una medida de cuánto valor ha ganado o perdido una inversión en un período de tiempo. Dependiendo del tipo de activo, el cálculo del retorno puede ser incierto o determinado.
Para un activo de riesgo, como una acción, el retorno es incierto y se calcula usando el precio inicial y el precio futuro del activo. Si el precio de la acción en el momento t se representa por S(t) , el retorno de la acción entre t = 0 y t = 1 se calcula de la siguiente forma:
K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}
Este retorno, representado por K_S , es una fracción del valor inicial de la acción y puede ser positivo (si el precio de la acción ha subido), negativo (si ha bajado) o cero (si el precio no ha cambiado).
Para un activo sin riesgo, como un bono, el retorno es conocido con certeza de antemano. Si representamos el precio de un bono en el tiempo t por A(t) , el retorno de este bono entre t = 0 y t = 1 se calcula como:
K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}
Este retorno, K_A , es fijo y se garantiza por el emisor del bono. La diferencia clave entre K_S y K_A es la certeza: mientras que el retorno de una acción es incierto, el retorno de un bono es fijo y conocido.
Construcción y Valoración de un Portafolio
Ahora que entendemos el concepto de retorno, podemos combinar activos de riesgo y sin riesgo para formar un portafolio. Supongamos que decides construir un portafolio que contenga x acciones y y bonos. El valor total del portafolio en cualquier momento t es:
V(t) = xS(t) + yA(t)
Aquí, V(t) representa el valor total del portafolio, que es la suma del valor de las acciones ( xS(t) ) y del valor de los bonos ( yA(t) ).
En el momento inicial ( t = 0 ), el valor del portafolio es conocido si conocemos el número de acciones y bonos y sus respectivos precios actuales. Sin embargo, en el tiempo t = 1 , el valor de las acciones puede variar, haciendo que el valor del portafolio sea incierto.
Suposiciones Básicas del Modelo
Para simplificar el modelo, establecemos algunas suposiciones clave que nos permiten hacer los cálculos y el análisis de manera más manejable:
- Suposición de Aleatoriedad: El precio de una acción en el futuro ( S(1) ) es una variable aleatoria, lo que significa que puede tomar diferentes valores en función de factores impredecibles del mercado.
- Positividad de Precios: Todos los precios de acciones y bonos son estrictamente positivos, es decir, S(t) > 0 y A(t) > 0 para t = 0, 1 . Esta suposición asegura que los valores de los activos sean realistas.
- Divisibilidad, Liquidez: Los activos pueden comprarse en cantidades fraccionarias, lo que permite a los inversores ajustar sus portafolios sin restricciones. Además, se asume que los activos se pueden comprar o vender en cualquier cantidad.
- Solvencia: La riqueza total de un inversor debe ser no negativa en todo momento, es decir, V(t) \geq 0 . Esto significa que no es posible perder más de lo que se ha invertido.
- Precios Discretos: El precio futuro S(1) de una acción es una variable aleatoria que puede tomar sólo un número finito de valores posibles. Esto facilita el análisis y la modelización del mercado.
Con estas suposiciones, el modelo se vuelve más fácil de manejar, permitiéndonos analizar los retornos y valores de portafolio sin complejidades adicionales.
Hasta ahora, hemos cubierto los conceptos teóricos fundamentales para entender el modelo simple del mercado. En la siguiente sección, aplicaremos estos conocimientos en ejercicios prácticos para ver cómo calcular el valor y el retorno de un portafolio en distintos escenarios.
Problemas Resueltos
Ejercicio 1: Cálculo del Retorno en Bonos (Activo Sin Riesgo)
Supongamos que tienes un bono cuyo precio en el momento inicial es A(0) = 100 dólares. Al final de un año, el valor del bono ha aumentado a A(1) = 110 dólares.
Pregunta: ¿Cuál es el retorno de esta inversión en bonos?
Solución: Dado que el bono es un activo sin riesgo, el retorno es seguro y puede calcularse usando la fórmula de retorno para activos sin riesgo:
K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}
Sustituyendo los valores:
K_A = \dfrac{110 - 100}{100} = \dfrac{10}{100} = 0.10
El retorno es del 10%.
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Ejercicio 2: Cálculo del Retorno en Acciones (Activo de Riesgo)
Supongamos que compras una acción al precio de S(0) = 50 dólares. Al final del año, el precio de la acción puede variar. Hay dos posibles resultados:
- Si el mercado sube, el precio de la acción será S(1) = 52 dólares, con una probabilidad p .
- Si el mercado baja, el precio de la acción será S(1) = 48 dólares, con una probabilidad 1 - p .
Pregunta:En un modelo simple de mercado ¿Cuál es el retorno de esta inversión en cada escenario?
Solución: El retorno de una acción, al ser un activo de riesgo, es incierto y se calcula usando la fórmula de retorno para activos de riesgo:
K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}
Calculamos el retorno en cada escenario:
- Si el precio sube a 52 dólares:
- Si el precio baja a 48 dólares:
K_S = \dfrac{52 - 50}{50} = \dfrac{2}{50} = 0.04
El retorno en este caso es del 4%.
K_S = \dfrac{48 - 50}{50} = \dfrac{-2}{50} = -0.04
El retorno en este caso es de -4%.
Por lo tanto, dependiendo del comportamiento del mercado, el retorno puede ser positivo (4%) o negativo (-4%).
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Ejercicio 3: Valor de un Portafolio con Activos de Riesgo y Sin Riesgo
Supón que decides construir un portafolio que contiene 20 acciones y 10 bonos. Sabemos que:
- El precio de una acción al inicio es S(0) = 50 dólares.
- El precio de un bono al inicio es A(0) = 100 dólares.
Pregunta: ¿Cuál es el valor de este portafolio en el momento inicial t = 0 ?
Solución: El valor de un portafolio en el momento t se calcula como:
V(t) = xS(t) + yA(t)
Donde x es el número de acciones y y es el número de bonos.
Sustituyendo los valores:
V(0) = (20)(50) + (10)(100)
V(0) = 1000 + 1000 = 2000
El valor del portafolio en el momento inicial t = 0 es de 2000 dólares.
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Ejercicio 4: Cálculo del Retorno en un Portafolio Mixto
Supón que el precio de los activos en el portafolio del Ejercicio 3 varía en el tiempo t = 1 de la siguiente manera:
- Si el mercado sube, el precio de la acción será S(1) = 52 y el bono será A(1) = 110 .
- Si el mercado baja, el precio de la acción será S(1) = 48 y el bono será A(1) = 110 .
Pregunta:En un modelo simple del mercado ¿cuál es el valor y el retorno del portafolio en cada escenario?
Solución:
Escenario 1: El mercado sube
V(1) = (20)(52) + (10)(110)
V(1) = 1040 + 1100 = 2140
El valor del portafolio en este caso es de 2140 dólares.
El retorno del portafolio es:
K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2140 - 2000}{2000} = \dfrac{140}{2000} = 0.07
El retorno es del 7%.
Escenario 2: El mercado baja
V(1) = (20)(48) + (10)(110)
V(1) = 960 + 1100 = 2060
El valor del portafolio en este caso es de 2060 dólares.
El retorno del portafolio es:
K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2060 - 2000}{2000} = \dfrac{60}{2000} = 0.03
El retorno es del 3%.
En resumen, el retorno del portafolio depende del comportamiento del mercado. Si el mercado sube, el retorno es del 7%; si el mercado baja, el retorno es del 3%.
Ejercicio 5: Cálculo de Retorno Ponderado en un Portafolio Mixto
Supón que decides construir un portafolio mixto con la siguiente distribución inicial:
- 50% de tu inversión está en bonos sin riesgo, con un precio inicial de A(0) = 100 y un precio al final del año de A(1) = 105 .
- 50% de tu inversión está en acciones de riesgo, con un precio inicial de S(0) = 50 . El precio de la acción en t = 1 podría ser S(1) = 55 si el mercado sube (probabilidad de 0.7) o S(1) = 45 si el mercado baja (probabilidad de 0.3).
Pregunta: ¿Cuál es el retorno esperado total del portafolio considerando la probabilidad de que el mercado suba o baje?
Solución:
1. Primero, calculamos el retorno de cada tipo de activo:
- Para los bonos sin riesgo:
- Para las acciones en cada escenario:
- Si el mercado sube:
- Si el mercado baja:
K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 (5%)
K_S^{\text{up}} = \dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 (10%)
K_S^{\text{down}} = \dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 (-10%)
2. Calculamos el retorno esperado de las acciones considerando las probabilidades:
\text{Retorno esperado de las acciones} = (0.7 \times 0.10) + (0.3 \times -0.10) = 0.04 (4%)
3. Ahora calculamos el retorno ponderado del portafolio, dado que el 50% está en bonos y el 50% en acciones:
K_{\text{portafolio}} = (0.5 \times 0.05) + (0.5 \times 0.04) = 0.045 (4.5%)
Respuesta: El retorno esperado total del portafolio es de 4.5%.
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Ejercicio 6: Evaluación de Riesgo y Retorno de un Portafolio con Venta en Corto en un modelo simple del msercado
Supón que tienes una estrategia en la que inviertes 2000 dólares en bonos sin riesgo, con un retorno garantizado del 3% al final del año. Además, tomas prestados 1000 dólares para vender en corto acciones con el objetivo de que su precio baje y puedas obtener una ganancia. Actualmente, las acciones tienen un precio de S(0) = 50 dólares por acción, y al final del año el precio puede ser:
- S(1) = 40 dólares si el mercado baja (probabilidad de 0.6)
- S(1) = 60 dólares si el mercado sube (probabilidad de 0.4)
Pregunta: ¿Cuál es el retorno esperado del portafolio y cuál es el riesgo asociado a la venta en corto, medido mediante la desviación estándar de los retornos?
Solución:
Cálculo del retorno esperado
Primero, calculamos el retorno de los bonos sin riesgo:
K_A = 0.03 (3%)
Para la venta en corto, calculamos la ganancia o pérdida en cada escenario:
- Si el mercado baja:
- Si el mercado sube:
La venta en corto fue realizada a 50 dólares por acción, y el precio al final del año es de 40 dólares. La ganancia por cada acción es:
50 - 40 = 10 dólares
Si tomaste prestados 1000 dólares, esto equivale a vender en corto \dfrac{1000}{50} = 20 acciones. La ganancia total es:
20 \times 10 = 200 dólares
La venta en corto fue realizada a 50 dólares por acción, y el precio al final del año es de 60 dólares. La pérdida por cada acción es:
50 - 60 = -10 dólares
Por 20 acciones, la pérdida total es:
20 \times -10 = -200 dólares
Calculamos el retorno esperado de la venta en corto:
\text{Retorno esperado de la venta en corto} = (0.6 \times 200) + (0.4 \times -200) = 120 - 80 = 40 dólares
Cálculo de la varianza y desviación estándar para medir el riesgo
Ahora, para medir el riesgo en un modelo simple del msercado, calculamos la varianza de los retornos de la venta en corto. La fórmula de la varianza, en función de los posibles resultados y sus probabilidades, es:
\text{Varianza} = (0.6) \times (200 - 40)^2 + (0.4) \times (-200 - 40)^2 = 38400
Finalmente, calculamos la desviación estándar como la raíz cuadrada de la varianza:
\text{Desviación estándar} = \sqrt{38400} \approx 196
Interpretación de la Desviación Estándar en el Contexto de la Distribución Normal
La desviación estándar es una medida de la dispersión de los valores alrededor de la media. En el contexto de una distribución normal, la desviación estándar tiene un papel importante en la comprensión del riesgo y la probabilidad de ciertos retornos.
Relación entre la Desviación Estándar y la Distribución Normal
La distribución normal (o campana de Gauss) es una distribución de probabilidad simétrica alrededor de su media, y en ella la mayoría de los valores se concentran cerca de la media. Muchos retornos financieros, como los rendimientos de portafolios bien diversificados, suelen aproximarse a una distribución normal.
En una distribución normal:
- Aproximadamente el 68% de los valores se encuentran dentro de una desviación estándar de la media.
- Aproximadamente el 95% de los valores se encuentran dentro de dos desviaciones estándar de la media.
- Aproximadamente el 99.7% de los valores se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media.
Interpretación en el Contexto de Riesgo y Retornos Financieros
Si asumimos que los retornos de la venta en corto siguen una distribución aproximadamente normal, la desviación estándar de 196 dólares nos permite estimar la probabilidad de obtener ciertos retornos alrededor del promedio esperado. Por ejemplo:
- Con una desviación estándar de 196 dólares y un retorno esperado de 40 dólares, podemos decir que el 68% de los resultados estarán en el rango de 40 \pm 196 dólares (es decir, entre -156 y 236 dólares).
- Para evaluar riesgos extremos, podríamos analizar resultados a dos o tres desviaciones estándar de la media. En una distribución normal, eventos a dos o más desviaciones estándar de la media son menos probables (5% o menos) pero pueden tener un impacto significativo en el portafolio.
Limitaciones en el Contexto de la Venta en Corto
Es importante tener en cuenta que en la venta en corto, los retornos pueden no seguir una distribución perfectamente normal debido a la asimetría de la estrategia: el precio de una acción puede subir indefinidamente, generando pérdidas ilimitadas, pero no puede caer por debajo de cero. Esto introduce un sesgo en la distribución, haciendo que el riesgo de pérdidas extremas sea más probable de lo que una distribución normal podría sugerir.
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1: Cálculo de Retorno en un Bono
Supón que compras un bono sin riesgo a un precio inicial de A(0) = 200 dólares, y al final del año el precio del bono aumenta a A(1) = 220 dólares.
Pregunta: ¿Cuál es el retorno de esta inversión en bonos?
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Ejercicio 2: Retorno en una Acción de Riesgo con Escenarios Probabilísticos
Compras una acción a un precio inicial de S(0) = 100 dólares. Al final del año, el precio de la acción puede ser S(1) = 110 con una probabilidad de 0.5, o S(1) = 90 con una probabilidad de 0.5.
Pregunta: Calcula el retorno en cada escenario y el retorno esperado de esta inversión en la acción.
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Ejercicio 3: Valor de un Portafolio Mixto
Construyes un portafolio con 15 acciones y 5 bonos. Al inicio, el precio de cada acción es S(0) = 30 dólares, y el precio de cada bono es A(0) = 100 dólares.
Pregunta: ¿Cuál es el valor total de tu portafolio en el momento t = 0 ?
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Ejercicio 4: Retorno del Portafolio en Diferentes Escenarios de Mercado
Para el portafolio del ejercicio anterior, al final del año el precio de la acción puede ser S(1) = 35 si el mercado sube, o S(1) = 25 si el mercado baja. El bono sin riesgo tendrá un precio de A(1) = 105 en ambos casos.
Pregunta: Calcula el valor y el retorno del portafolio en cada escenario de mercado.
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Ejercicio 5: Impacto de Cambios en el Precio de la Acción en el Portafolio
Supón que tienes un portafolio compuesto por 10 bonos y 40 acciones. El precio de cada bono es A(0) = 90 dólares, y el de cada acción es S(0) = 20 dólares al inicio. Al final del año, el precio de la acción aumenta a S(1) = 30 y el del bono a A(1) = 95 .
Pregunta: Calcula el valor inicial y final del portafolio, y determina el retorno del portafolio.
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Ejercicio 6: Cálculo de Retorno Ponderado en un Portafolio Diversificado en un modelo simple del mercado
Inviertes el 60% de tu portafolio en bonos sin riesgo y el 40% en acciones. El precio inicial de los bonos es A(0) = 200 dólares, y su precio final es A(1) = 210 dólares. El precio inicial de las acciones es S(0) = 50 y su precio final depende de si el mercado sube ( S(1) = 55 con probabilidad de 0.6) o baja ( S(1) = 45 con probabilidad de 0.4).
Pregunta: Calcula el retorno esperado total del portafolio.
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Ejercicio 7: Evaluación de Riesgo mediante la Desviación Estándar
En una estrategia de venta en corto, tomas prestados 500 dólares para vender en corto acciones que están a un precio inicial de S(0) = 25 dólares. Al final del año, el precio de las acciones puede ser S(1) = 20 (probabilidad de 0.7) o S(1) = 30 (probabilidad de 0.3).
Pregunta: Calcula el retorno esperado y la desviación estándar de esta inversión en la venta en corto.
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Ejercicio 8: Creación de un Portafolio que Garantice un Retorno Específico
Dispones de 2000 dólares y deseas armar un portafolio con bonos sin riesgo ( A(0) = 100 dólares, con un retorno del 5%) y acciones ( S(0) = 50 dólares) cuyo retorno esperado es del 8%.
Pregunta: ¿Cuántos bonos y acciones debes comprar para que el retorno total esperado del portafolio sea del 6%?
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Ejercicio 9: Análisis del Impacto de Diversificación en el Portafolio
Inviertes 3000 dólares en un portafolio compuesto por bonos y acciones. La mitad de tu inversión está en bonos ( A(0) = 150 dólares, con retorno garantizado de 4%) y la otra mitad en acciones ( S(0) = 75 dólares), cuyo precio en t = 1 puede ser 90 (probabilidad de 0.5) o 60 (probabilidad de 0.5).
Pregunta: Calcula el retorno esperado y la desviación estándar del portafolio.
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Ejercicio 10: Efecto del Cambio de Precio en el Portafolio y Solvencia
Construyes un portafolio con 1000 dólares, invirtiendo 300 en bonos y 700 en acciones. En el caso de los bonos, el retorno es fijo al 3%, mientras que el precio de las acciones ( S(0) = 35 ) puede bajar a 25 o subir a 45 con probabilidades iguales.
Pregunta: ¿Cuál es el valor del portafolio en cada escenario en el modelo simple del mercado? Evalúa si el portafolio cumple con la suposición de solvencia ( V(t) \geq 0 ).