سنبدأ الآن بدراسة معادلة الخط، النظم الديكارتية، ومبادئ الهندسة التحليلية.

مبادئ الهندسة التحليلية

عند تقديم الأعداد الحقيقية، يُقال عادةً أن هذه النقاط موجودة على خط مستقيم

من هنا، توصل ديكارت إلى فكرة استخدام خطين لتمثيل النقاط في مستوى كزوج من الإحداثيات (x, y)

معادلة الخط

باستخدام هذه المفاهيم، يمكننا الآن النظر في مجموعة من النقاط في المستوى لتشكيل منحنيات في المستوى، حيث لكل إحداثي x إحداثي آخر y، وهذا القانون يمثل بواسطة دالة. هنا يتداخل الجبر مع الهندسة ويولد “الهندسة التحليلية”.

هندسياً، نفهم أن الخط هو المنحنى الذي يصل بين نقطتين بأقصر مسافة ممكنة.

هندسياً، نفهم أن الخط هو المنحنى الذي يصل بين نقطتين بأقصر مسافة ممكنة. وعند تحليل ذلك، وبناءً على نظرية طاليس، سنرى أن لكل زيادة في الإحداثي y هناك زيادة مقابلة في الإحداثي x بحيث أن النسبة m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x تظل ثابتة لأي زوج من النقاط على الخط. وهذا ما نسميه “ميل الخط”.

نظرًا لأن الميل ثابت لأي زوج من النقاط على الخط، إذا أخذنا النقاط على الخط ذات الإحداثيات (x, y), (x_0, y_0), (x_1, y_1) و (x_2, y_2), يمكننا أن نكتب:

\displaystyle \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

وهذا ما يعادل القول:

\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}

من هنا يأتي ما يعرف بـ معادلة الخط

\color{red}{{y = m(x - x_0) + y_0}}

هنا، الزوج (x_0, y_0) هو نقطة ثابتة، بينما الزوج (x, y) هو أي نقطة أخرى.

تمارين الأمثلة

1. احسب معادلة الخط الذي يمر بالنقطة (x_0, y_0) = (2, 3) وله ميل m = 3/2 [الحل]
2. احسب معادلة الخط الذي يمر بالنقطة (x_0, y_0) = (1, 8) وله ميل m = 7/5 [الحل]
3. احسب معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين (x_1, y_1) = (3, 5) و (x_2, y_2) = (1, -2) [الحل]

كيفية رسم معادلة الخط

لقد رأينا بالفعل كيفية الحصول على معادلة الخط من المعلومات الرسومية؛ الآن، سنقوم بالعكس، سنحصل على التمثيل الرسومي من معادلة الخط.

في نهاية المطاف، يتم تقديم معادلة الخط دائمًا بالشكل التالي:

y = mx + b

حيث m=\Delta Y / \Delta x هو الميل و b هو معامل الموقع. من هنا نحصل على الشكل التالي:

تمارين الأمثلة

1. ارسم الخط ذو المعادلة y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 [الحل]
2. ارسم الخط ذو المعادلة y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 [الحل]

مسائل تطبيقية على معادلة الخط

يمكن استخدام الخط لحل المسائل التي تتعلق بالعلاقة المباشرة بين مقدارين، كما هو الحال في الأمثلة التالية:

1. مركبة ذات موقع ابتدائي x_0 = 12[م] تتحرك بسرعة v=0,3[م/ث]. أين ستكون بعد 30[ث]? [الحل]
2. ذهب شخص إلى السوق واشترى 1[كغ] من التفاح، وأنفق إجمالي 50 Z\$. وفي نفس اليوم، عاد إلى السوق لشراء 3[كغ] من التفاح، وأنفق إجمالي 60 Z\$.. ما هو سعر التفاح وكم تكلفة التذاكر؟ [الحل]

التقاطعات بين الخطوط

لنفترض أن لدينا خطين ونريد أن نجد النقطة المشتركة بينهما؛ وهذا يعني العثور على تقاطع الخطوط. لحل هذا النوع من المسائل، يجب علينا حل نظام المعادلات. لفهم هذا بشكل أفضل، دعونا نلقي نظرة على المثال التالي:

دعونا نعتبر الخطوط التالية:

L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1

L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9

أين يتقاطع هذان الخطان؟

لحل هذه المسألة، نقوم بالتفكير كالتالي:

وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخطين هي (x, y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).

مثال على مسائل تطبيقية لتقاطع الخطوط

تم بيع 600 تذكرة لحفلة ما بإجمالي دخل قدره \$1.300.000. تم بيع تذاكر الشباب مقابل \$1.000, وتذاكر البالغين مقابل \$3.000. كم عدد البالغين والشباب الذين حضروا الحفلة؟ [الحل]