5 Simetrías de la Lógica Proposicional
Resumen:
A lo largo de esta clase, exploraremos cómo la doble negación, el silogismo hipotético, el contrapositivo de la implicancia, los teoremas de deducción y las definiciones de los conectores se combinan para formar las simetrías de la lógica proposicional. Con demostraciones claras y sencillas, aprenderás a dominar las equivalencias y a aplicarlas en tus propios desafíos lógicos.
Las simetrías abordadas en la clase incluyen: \downarrow-Simetría, \vee-Simetría, \wedge-Simetría, \leftrightarrow-Simetría y \veebar-Simetría. Además, se destacan las interacciones entre las demostraciones y cómo cada una se apoya en las anteriores para simplificar futuras deducciones. Esta clase no solo te proporcionará un conocimiento profundo de la Lógica Proposicional, sino que también te enseñará a utilizar demostraciones previas para optimizar tu proceso de aprendizaje.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de
- Recordar conceptos básicos de la lógica proposicional, como el silogismo hipotético y la doble negación.
- Reconocer las 5 Simetrías de la Lógica Proposicional.
- Comprender el proceso de demostración de las equivalencias de simetrías.
- Aplicar la Presunción, el Teorema de Deducción y su Recíproco en las demostraciones.
- Relacionar las definiciones de conectores lógicos con las simetrías.
- Valorar la importancia de realizar demostraciones una sola vez y reutilizarlas en futuras demostraciones.
- Desarrollar habilidades analíticas y críticas al realizar demostraciones lógicas.
INDICE DE CONTENIDOS
\vee – SIMETRÍA
\downarrow – SIMETRÍA
\wedge – SIMETRÍA
\leftrightarrow – SIMETRÍA
\veebar – SIMETRÍA
OBSERVACIONES FINALES
Una consecuencia directa del silogismo hipotético, la doble negación y el contrapositivo de la implicancia, los teoremas de deducción y las definiciones de los conectores son las 5 simetrías de la lógica proposicional que revisaremos a continuación.
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow-Simetría |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee-Simetría |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge-Simetría |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow-Simetría |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar-Simetría |
Las demostraciones de estas equivalencias no son del todo triviales, pero a diferencia de algunas demostraciones que ya hemos visto, sí son bastante sencillas. A continuación, se muestra la demostración de cada una en una sola dirección; la demostración en el sentido inverso es prácticamente idéntica y queda como ejercicio para el lector realizarlas.
\vee-Simetría
| (1) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; porque (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| (3) | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; porque ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
El razonamiento en el sentido inverso se obtiene con muy pocas variaciones iniciando con la presunción \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)
\downarrow-Simetría
| (1) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; Pre |
| (2) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; de (1) porque (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| (3) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee-Simetría |
| (4) | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; TD(3) |
| (5) | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| (6) | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; de (5) porque (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| (7) | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
Finalmente, razonando en el sentido inverso se obtiene la deducción en el sentido contrario iniciando con la presunción \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)
\wedge-Simetría
| (1) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; de (1) porque (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| (3) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow-Simetría (2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; de (3) porque (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
Igual que en anterior, si razonas en el sentido inverso se obtiene con muy pocas variaciones iniciando con la presunción \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)
\leftrightarrow-Simetría
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; De (1) porque (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| (3) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ) | ; \wedge-Simetría(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; De (3) porque (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
Igual que el anterior, pero iniciando con la presunción \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)
\veebar-Simetría
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Pre |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow-Simetría(1) |
| (3) | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; TD(2) |
| (4) | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| (5) | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; RTD(4) |
| (6) | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; De (5) porque ( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha) y (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
Como en todos los demás casos, basta con probar la presunción en sentido inverso \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) para obtener la deducción en dicho sentido.
Observaciones Finales
Un aspecto al que el lector debe prestar atención es al orden en el que se han elegido demostrar estas 5 simetrías de la lógica proposicional. Nótese que cada una está hecha de tal modo que utiliza alguna de las demostraciones previamente realizadas. Esto refleja el enfoque que se debe seguir al realizar demostraciones: éstas se llevan a cabo una sola vez (¡y nunca más!); después de eso, tu objetivo debe centrarse en utilizar las demostraciones anteriores para simplificar las futuras.