Новые соображения

В результате рассмотрения Распространения электромагнитных волн в вакууме, в специальной теории относительности постулируется, что скорость света c одинакова для всех инерциальных систем отсчета. Но такое предположение не является бесплатным, потому что оно влечет за собой следующие последствия:

1. Необходимо отказаться от преобразований Галилея как действительного способа преобразования наблюдений из одной инерциальной системы в другую.
2. Необходимо отказаться от интуитивной идеи, что время течет одинаково для всех инерциальных систем отсчета.

Именно через эти соображения получаются преобразования Лоренца, которые служат корректировкой и обобщением для преобразований Галилея, а также применяются в электромагнитной теории.

Получение преобразований Лоренца

Обзор преобразований (линейных) координат

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и S^\prime в стандартной конфигурации, так что второй источник движется с постоянной скоростью \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} относительно исходного. Затем будет показано, что если координаты события, наблюдаемого из двух инерциальных систем S и S^\prime, связаны линейным преобразованием, как это описано в Принципе специальной теории относительности (в частности, эта формула), и принимается тот факт, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах, то преобразование координат будет соответствовать преобразованиям Лоренца, которые мы получим позже.

В принципе, координаты (t,x) события, наблюдаемого из S, и координаты (t^\prime, x^\prime) того же события, наблюдаемого из S^\prime, которая движется со скоростью v_{v}=v_{x_0}\hat{x} относительно S,, связаны через линейное преобразование следующим образом:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

где A, B, C и D являются константами, которые необходимо определить, и для упрощения (без потери общности) были опущены координаты y и z.

Введение скорости света как универсальной постоянной

Константы A, B, D и E могут быть определены из этих новых соображений, прибегая к некоторым специальным случаям. Прежде всего, необходимо учитывать, что преобразование координат, выраженное через [1] и [2], должно всегда работать, и, следовательно, оно должно работать в каждом конкретном случае, а эти конкретные случаи перечислены ниже для изучения их формы:

• Рассмотрим событие, движущееся со скоростью света: Если у него координаты (t,x), наблюдаемые из S, и (t^\prime, x^\prime), наблюдаемые из S^\prime,, то должны быть выполнены следующие условия:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  Из этого следует, что

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• Рассмотрим событие, движущееся вместе с инерциальной системой S^\prime:

  Если событие имеет те же координаты, что и источник инерциальной системы S^\prime,, тогда будет выполнено x=v_0 t и x^\prime =0. Следовательно, из уравнения [2] мы получаем:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\;\;\;[4] \end{array}

• Наконец, рассмотрим событие, оставшееся рядом с источником инерциальной системы S:

  В этом случае будет x=0 и x^\prime = -v_0 t^\prime, так что из уравнения [2] мы получаем:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  Затем, используя [1] и [5], мы получаем:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

Наконец, из [4] и [6]: A = E, таким образом, система уравнений, представленная в [1] и [2], сводится к

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

Ускорение скорости и фактор Лоренца

Теперь, заменяя [7] и [8] в [3], получаем

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

На основе того, что выделено синим цветом, получаем

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

Это обычно записывается, заменяя A=\gamma_x (фактор сокращения Лоренца) и \beta_x = v_{x_0}/c (ускорение скорости), получая форму:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

И заменяя [9] в [2], получаем:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

На основе того, что выделено красным цветом, получаем

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

Таким образом, заменяя [9] и [10] в [7], получаем

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

Синтез преобразований Лоренца

Наконец, линейное преобразование, моделирующее изменение координат между системами S и S^\prime, представлено следующими выражениями.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

Эта система преобразований может быть представлена в матричной форме следующим образом

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

Это то, что известно как преобразования Лоренца специальной теории относительности

Преобразования Лоренца сходятся и обобщают преобразования Галилея

Сходимость преобразований Лоренца к преобразованиям Галилея наблюдается, когда скорость между инерциальными системами отсчета значительно меньше скорости света. В этом случае имеем:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

Таким образом:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

то есть:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

что полностью совпадает с преобразованиями Галилея. Таким образом, подтверждается, что преобразования Лоренца обобщают преобразования Галилея для скоростей, близких к скорости света, и сходятся с преобразованиями Галилея при гораздо меньших скоростях.