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Topos Uranos
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변화율과 관련된 변화율

요약

이 수업은 도함수를 응용에서 그것이 재는 것으로 읽는다. 곧 한 양이 다른 양의 변화에 따라 변하는 빠르기이다. 평균변화율, 순간변화율, 상대변화율을 단위와 함께 구별하고, 상대변화율이 일정한 증가를 특징짓는다. 직선 위의 운동을 위치, 속도, 속력, 가속도로 살펴보고, 어떤 시각에서의 미분계수의 부호가 무엇을 말하고 무엇을 말하지 않는지 증명한다. 끝으로, 시간에 의존하는 여러 양이 하나의 관계로 묶여 있을 때 연쇄 법칙은 그 변화율들도 묶어 준다. 이것이 관련된 변화율이며, 명시적인 방법으로 푼다.

학습 목표

  1. 도함수를 순간변화율로서 단위와 함께 해석하고, 평균변화율 및 상대변화율과 구별한다.
  2. 직선 운동을 위치, 속도, 속력, 가속도로 기술하고, 어떤 시각에서의 미분계수의 부호가 가까운 값들에 대해 무엇을 말하는지 증명한다.
  3. 관련된 변화율 문제를 명시적인 방법으로 풀고, 미분하는 양들이 미분가능함을 정당화한다.
  4. 곱과 거듭제곱의 상대변화율을 로그미분과, 가속도를 관계식의 이계도함수와 관련짓는다.

변화율로서의 도함수

극한으로서의 도함수에 관한 수업은 두 가지 물음에서 같은 정의에 이르렀다. 접선의 기울기와 순간속도이다. 둘 다 더 일반적인 물음의 특수한 경우이다. 한 양이 다른 양에 의존할 때마다, 예를 들어 원의 넓이가 반지름에, 움직이는 점의 위치가 시간에, 막대 한 토막의 질량이 그 길이에 의존할 때, 뒤의 것이 변할 때 앞의 것이 얼마나 빠르게 변하는지 아는 것이 유용하다.

정의변화율

ff를 열린구간 II에서 정의된 함수로서 양 y=f(x)y = f(x)를 다른 양 xx의 함수로 나타내는 것이라 하고, aa와 a+ha + h를 II의 점으로서 h≠0h \neq 0를 만족하는 것이라 하자. yy의 xx에 대한 aa와 a+ha + h 사이의 평균변화율은 아래의 몫이다.

ΔyΔx=f(a+h)−f(a)h\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

ff가 aa에서 미분가능할 때, yy의 xx에 대한 aa에서의 순간변화율(간단히 변화율)은 f′(a)f'(a)이다. 또한 f(a)≠0f(a) \neq 0이면, aa에서의 상대변화율은 몫 f′(a)f(a)\frac{f'(a)}{f(a)}이다.

평균변화율은 할선의 기울기이고, 순간변화율은 그 극한, 곧 접선의 기울기이다. 둘 다 yy의 단위 매 xx의 단위로 잰다. yy가 길이이고 xx가 시간이면 미터 매 초이고, yy가 막대 한 토막의 질량이고 xx가 그 길이이면 킬로그램 매 미터이다. 이 마지막 경우에, M(x)M(x)가 한쪽 끝과 거리 xx인 점 사이에 있는 토막의 질량이면, 변화율 M′(x)M'(x)는 그 점에서의 막대의 선밀도, 곧 그 점 둘레의 아주 짧은 토막이 가질 단위 길이당 질량이다. 이와 달리 상대변화율은 xx의 단위의 역수로만 잰다(매 초, 매 일). 그것은 yy를 재는 단위에 의존하지 않으며, 그래서 성질이나 크기가 서로 다른 양들의 변화를 비교할 수 있게 해 준다. 이것은 지수에 있는 변수에 관한 수업의 로그미분이며, 흔히 백분율로 나타낸다. 하루당 0.030.03의 상대변화율은 하루당 3퍼센트이다.

기하학적인 예 하나가 변화율을 어떻게 읽는지 보여 준다. 반지름이 rr인 원의 넓이는 A=πr2A = \pi r^2이고, 반지름에 대한 그 변화율은 dAdr=2πr\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, 곧 원주이다. 이것은 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 연습 문제 1에서 확인하도록 요구한 것이다. 이유는 분명하다. 반지름이 hh만큼 늘면, 넓이는 폭이 hh인 원환만큼 늘고, 그 넓이는 거의 원주와 hh의 곱이다.

명제상대변화율이 일정한 증가

y0>0y_0 > 0와 k≠0k \neq 0를 실수라 하고, y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt}(단, tt는 임의의 실수)라 하자. 그러면 yy의 상대변화율은 모든 시각에서 kk와 같고, 모든 tt와 모든 TT에 대하여 아래 식이 성립한다.

y(t+T)=ekT y(t)y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

특히 k>0k > 0이면, 그 양은 어느 시각에 시작하든 길이가 ln⁡2k\frac{\ln 2}{k}인 각 시간 구간에서 배가 된다. 또한 k<0k < 0이면, 길이가 ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}}인 각 구간에서 절반이 된다.

증명

  1. y′(t)=y0ekt⋅k=k y(t),y′(t)y(t)=ky'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}

    지수에 있는 변수에 관한 수업의 따름정리 「지수함수 및 로그와의 합성」에 의하여, u(t)=ktu(t) = kt로 두면 함수 yy는 R\mathbb{R} 전체에서 미분가능하고, 그 도함수는 함수 자신의 kk배이며, 함수 자신은 영이 되지 않는다.

  2. y(t+T)y(t)=y0ektekTy0ekt=ekT\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}

    지수법칙에 의하여, 길이가 TT인 구간만큼 떨어진 값들의 비는 tt에 의존하지 않는다.

  3. ekT=2⇔T=ln⁡2k,ekT=12⇔T=ln⁡2−ke^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}

    지수함수는 단사이므로, 비가 22와 같을 필요충분조건은 kT=ln⁡2kT = \ln 2이고, 12\frac{1}{2}와 같을 필요충분조건은 kT=−ln⁡2kT = -\ln 2이다.

제약이 없는 환경의 세균 개체 수나 방사성 물질의 질량은 좋은 근사로 상대변화율이 일정하게 변하며, 이 명제는 그것들이 일정한 배가 시간이나 일정한 반감기를 가지는 이유를 설명한다. 함수 y0ekty_0 e^{kt}이 상대변화율이 일정하게 kk인 유일한 함수라는 것은 참이지만, 그 증명에는 어떤 구간에서 도함수가 영인 함수는 상수라는 사실을 알아야 하며, 이것은 뒤의 단원에서 다루는 평균값 정리의 결과이다.