변수가 무한대로 갈 때의 극한

무한대의 두 가지 쓰임

「무한대」라는 말은 극한의 공부에서 두 가지 다른 뜻으로 나타나며, 처음부터 둘을 구별해 두는 것이 좋다. 첫째 뜻에서는 한없이 커지는 것이 변수이고, 함수의 값은 어떤 수에 가까워진다. 둘째 뜻에서는 한없이 커지는 것이 함수이고, 변수는 어떤 수에 가까워진다. 따라서 아래의 세 주장은 서로 다르다.

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$: 변수가 한없이 커지고 $f$의 값이 수 $L$에 가까워진다. 예를 들어 $\frac{1}{x}$는 $0$에 가까워진다($x$가 커질 때). 이것이 이 수업의 대상이다.
• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$: 변수가 수 $a$에 가까워지고 $f$의 값이 한없이 커진다. 예를 들어 $\frac{1}{x^2}$는 한없이 커진다($x$가 $0$에 가까워질 때). 이것은 무한 극한에 관한 수업의 대상이다.
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$: $x^2$처럼 둘 다 한없이 커진다. 이것도 무한 극한에 관한 수업에서 다룬다.

기호 $\infty$는 실수가 아니며, 두 상황은 대칭이 아니다. 첫째 상황에서 극한은 존재하고 하나의 수 $L$이며, 여기에 유일성, 극한의 연산 법칙, 그리고 알려진 모든 정리가 적용된다. 둘째 상황에서 함수는 실변수 함수의 극한에 관한 수업의 뜻으로는 극한을 갖지 않는다. 표기 $= \infty$은 극한을 가리키는 것이 아니라 극한을 갖지 않는 하나의 정확한 방식을 나타낸다. 그러므로 수를 다루는 극한의 연산 법칙을 $\infty$에 마치 그것이 수인 것처럼 적용할 수는 없다.

그러나 두 상황은 같은 하나의 도식에 들어간다. 극한의 정의는 모두 이렇게 말한다. 값에 관한 모든 도전에 대해 변수에 관한 응답이 존재한다. 달라지는 것은 각각에 가깝다는 것이 무엇을 뜻하는가뿐이다:

• 변수가 수 $a$에 가깝다는 것은 $0 < \abs{x - a} < \delta$라는 뜻이고, $\infty$에 가깝다는 것은 $x > M$이라는 뜻이다;
• 값이 수 $L$에 가깝다는 것은 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$라는 뜻이고, $\infty$에 가깝다는 것은 $f(x) > N$이라는 뜻이다.

극한에 관한 수업의 정의는 각 줄의 첫째 형태를 결합한다. 이 수업은 첫째 줄의 둘째 형태와 둘째 줄의 첫째 형태를 결합한다. 무한 극한에 관한 수업은 나머지 형태들을 결합한다. 이 수업의 첫째 명제는 같은 하나의 함수로 두 가지 쓰임을 보여 준다.