메타이론: 도입

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1. 문제 1이전 단원에서$\Gamma \models \varphi$의 뜻은 무엇인가?

   $\Gamma$의 모든 논리식을 충족하는 모든 진리값 할당이 $\varphi$도 충족한다.

   $\varphi$의, $\Gamma$로부터의 연역이 존재한다.

   어떤 진리값 할당이 $\Gamma$와 $\varphi$를 동시에 충족한다.

   $\varphi$는 $\Gamma$의 어떤 한 논리식만의 귀결이다.

2. 문제 2이전 단원에서다음 주장 가운데 $\Gamma \models \varphi$와 동치인 것은 무엇인가?

   $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$는 충족 불가능하다.

   $\Gamma \cup \{\varphi\}$는 충족 가능하다.

   $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$는 충족 가능하다.

   $\neg\varphi$는 충족 불가능하다.

3. 문제 3이전 단원에서할당 $v$가 $\alpha$에 값 $1$을 준다면, $(\alpha \downarrow \beta)$에는 어떤 값을 주는가?

   $0$. $\beta$의 값이 무엇이든.

   $\beta$에 달려 있다. 값이 $1$이 되는 것은 $\beta$의 값이 $0$일 때이다.

   $1 - v(\beta)$.

   $1$. 성분 하나가 참이므로.

4. 문제 4이전 단원에서$\varphi$의 변항은 $v_{2}$와 $v_{7}$이다. 두 할당 $v$와 $w$는 $v_{2}$와 $v_{7}$에 같은 값을 주고, 나머지 모든 변항에는 반대 값을 준다. $v(\varphi) = 1$이라면, $w(\varphi)$에 관해 무엇을 주장할 수 있는가?

   $w(\varphi) = 1$.

   아무것도 주장할 수 없다. $v$와 $w$는 무한히 많은 변항에서 다르므로.

   $w(\varphi) = 0$. $w$는 $v$의 거의 모든 값을 뒤집으므로.

   $w(\varphi) = 1$. 단, $v$와 $w$가 $v_{1}, \ldots, v_{6}$에서도 일치할 때에만.

5. 문제 5이전 단원에서$\Gamma$를 $\Gamma \vdash \varphi$인 논리식의 무한 집합이라 하자. 무엇을 주장할 수 있는가?

   $\Gamma$의 어떤 유한 부분집합이 $\varphi$를 연역한다.

   $\varphi$는 정리이다.

   그 연역은 $\Gamma$의 모든 논리식을 쓴다.

   콤팩트성 정리 없이는 아무것도 주장할 수 없다. $\Gamma$는 무한하므로.

6. 문제 6이전 단원에서$\Gamma \cup \{p\} \vdash \chi$이고 $\Gamma \cup \{\neg p\} \vdash \chi$임을 안다. 경우에 따른 증명으로 무엇을 결론지을 수 있는가?

   $\Gamma \vdash \chi$.

   $\Gamma$가 $p$를 연역하는지 $\neg p$를 연역하는지 모르는 한, 아무것도 결론지을 수 없다.

   $\Gamma \vdash (p \leftrightarrow \chi)$.

   $\Gamma \cup \{p, \neg p\} \vdash \chi$일 뿐이다.

7. 문제 7이 강좌의 체계는 건전하다. 이 성질은 무엇을 주장하는가?

   모든 집합 $\Gamma$에 대해, $\Gamma \vdash \varphi$이면 $\Gamma \models \varphi$이다.

   $\Gamma \models \varphi$이면 $\Gamma \vdash \varphi$이다.

   논리식 $\varphi$로서 $\vdash \varphi$이고 $\vdash \neg\varphi$인 것은 존재하지 않는다.

   참인 논리식은 모두 정리이다.

8. 문제 8$v$를, $1$을 $p$에, $0$을 $q$에 주는 할당이라 하자. 칼마르 보조정리는 변항 $p$와 $q$를 써서, 논리식 $(p \leftrightarrow q)$에 대해 무엇을 주장하는가?

   $\{p, \neg q\} \vdash \neg(p \leftrightarrow q)$.

   $\{p, \neg q\} \vdash (p \leftrightarrow q)$.

   $\{p, q\} \vdash \neg(p \leftrightarrow q)$.

   $\vdash \neg(p \leftrightarrow q)$.

9. 문제 9연역 체계가 완전하지 않으면서 건전할 수 있는가?

   그렇다. 우카시에비치 체계는 RDN 규칙이 없으면 건전하며, 항진식 $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$을 연역하지 않는다.

   아니다. 건전성과 완전성은 서로에게서 도출된다.

   아니다. 공리가 항진식인 체계는 모든 항진식을 연역한다.

   그렇다. 단, 체계가 모순일 때에만.

10. 문제 10콤팩트성 정리는 무엇을 주장하는가?

    논리식의 집합이 충족 가능한 것은 그 모든 유한 부분집합이 충족 가능할 때, 그리고 그때에만이다.

    논리식의 집합이 충족 가능한 것은 그 논리식 각각이 충족 가능할 때, 그리고 그때에만이다.

    논리식의 무한 집합은 모두 충족 가능하다.

    집합은 그 유한 부분집합 가운데 하나가 충족 가능하면 충족 가능하다.

11. 문제 11$\Gamma$를 $\Gamma \models \varphi$인 논리식의 무한 집합이라 하자. 콤팩트성은 무엇을 보장하는가?

    $\Gamma_{0} \models \varphi$. 여기서 $\Gamma_{0}$은 $\Gamma$의 어떤 유한 부분집합이다.

    $\varphi$는 $\Gamma$의 어떤 한 논리식만의 귀결이다.

    $\varphi$는 $\Gamma$의 모든 유한 부분집합의 귀결이다.

    $\varphi$는 타당하다.

12. 문제 12첫 수업은 유한 전제 집합에 대해 완전성을 증명한다. 그것을 무한 집합 $\Gamma$로 확장하는 데 왜 연역의 유한성으로는 부족한가?

    유한성은 $\Gamma \vdash \varphi$에 관해 말하는데, 가진 것은 $\Gamma \models \varphi$이기 때문이다. 유한 부분으로 환원되어야 하는 것은 연역이 아니라 귀결이며, 그것이 콤팩트성이다.

    충분하다. $\Gamma \models \varphi$이면, 유한성이 유한한 $\Gamma_{0}$으로서 $\Gamma_{0} \models \varphi$인 것을 준다.

    칼마르 보조정리는 변항이 무한히 많은 논리식에 대해서는 성립하지 않으므로.

    완전성은 무한 전제 집합에 대해서는 거짓이므로.

13. 문제 13절 $\{p, \neg q, r\}$과 $\{q, s\}$의 분해식은 무엇인가?

    $\{p, r, s\}$.

    $\{p, \neg q, r, q, s\}$.

    $\{p, r\}$.

    공통 리터럴이 없으므로 분해식이 없다.

14. 문제 14분해로 $\{(p \vee q), \neg p\} \models q$인지 결정하려면, 어떤 절 집합을 반박하려고 하는가?

    $\{\{p, q\}, \{\neg p\}, \{\neg q\}\}$.

    $\{\{p, q\}, \{\neg p\}, \{q\}\}$.

    $\{\{p, q\}, \{\neg p\}\}$.

    $\{\{\neg p, \neg q\}, \{p\}, \{\neg q\}\}$.

15. 문제 15빈 절 $\Box$를 집합 $\{\{p, q\}, \{\neg p, \neg q\}\}$로부터 분해로 도출할 수 있는가?

    없다. 집합은 충족 가능하고, 분해는 건전하다.

    있다. 한 단계로, 두 상보 쌍을 동시에 없애면 된다.

    있다. 두 단계로, 먼저 $p$에 관해, 다음에 $q$에 관해 분해하면 된다.

    없다. 두 절 가운데 어느 것도 단위 절이 아니므로.