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Topos Uranos
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두 직선이 이루는 각과 삼각법의 응용

요약

이 수업에서는 평면의 두 직선이 이루는 각을 삼각법으로 잰다. 직선의 경사각을 정의하고 그 탄젠트가 기울기임을 증명한다. 차의 탄젠트 공식을 이용하여 두 직선이 이루는 각의 탄젠트를 기울기로부터 구하는데, 수직 조건이 그 특수한 경우로 들어 있다. 또 내적을 이용하여 두 번째 표현을 주는데, 이것은 연직선에도 성립하며 첫 번째 표현과의 일관성은 라그랑주 항등식이다. 이어서 두 직선의 각의 이등분선을 두 직선에서 같은 거리에 있는 점의 자취로 특징짓고, 이들이 수직임을 증명하며, 이들을 이용하여 삼각형의 내심과 내접원을 구한다. 마지막 부분은 응용을 모은다. 사인법칙에 의한 접근할 수 없는 점의 높이, 등속 원운동의 그림자로서의 단진동, 발사체의 사거리(45∘45^\circ에서 최대이고 서로 여각인 두 각에 대해 같다), 그리고 최단 경로의 성질로서의 반사의 법칙이다.

학습 목표

  1. 기울기나 방향벡터로부터 직선의 경사각과 두 직선이 이루는 각을 계산하고, 평행과 수직을 양 극단의 경우로 알아본다.
  2. 두 직선의 각의 이등분선의 방정식을 같은 거리에 있는 점의 자취로 구하고, 삼각형의 내각의 이등분선을 고르며, 그 내심과 내접원을 구한다.
  3. 올려본각과 내려본각을 이용한 높이와 거리의 문제를 사인법칙과 덧셈정리를 결합하여 푼다.
  4. 단진동, 발사체의 사거리, 빛의 반사를 삼각함수로 기술하고, 그 성질을 이 단원의 항등식으로부터 이끌어 낸다.

직선의 경사각

강좌 I의 직선의 방정식에 관한 수업에서는 연직이 아닌 직선의 방향을 하나의 수, 곧 기울기로 재었고, 연직이 아닌 두 직선이 수직일 필요충분조건은 기울기의 곱이 −1-1인 것임을 증명하였다. 이 조건은 어떤 각도 재지 않고 직각이라는 하나의 특별한 각을 알아본다. 또 삼각비에 관한 수업에서는 각의 탄젠트가 그 동경을 포함하는 직선의 기울기임을 보았다. 그렇다면 기울기는 어떤 각의 탄젠트이고, 직선 사이의 각은 삼각법으로 계산할 수 있어야 한다.

직선의 경사각이란 가로축의 양의 반축이 그 직선과 이루는 각 α\alpha(단, 0≤α<π0 \le \alpha < \pi)로서, 축에서 직선 쪽으로 시계 반대 방향으로 잰 것이다. 수평인 직선의 경사각은 00이고, 연직선의 경사각은 π2\frac{\pi}{2}이다.

더 정확히 말하면, 원점을 지나고 그 직선에 평행한 직선은 어떤 각 α\alpha의 동경을 포함하고, α+π\alpha + \pi의 동경도 포함한다. 단위원 위의 점 P(α)P(\alpha)와 P(α+π)P(\alpha + \pi)는 서로 정반대에 있기 때문이다. α+kπ\alpha + k\pi 꼴의 각 가운데 정확히 하나가 [0,π)\ico{0}{\pi}에 속하며, 그것이 경사각이다. 두 직선이 평행하거나 일치할 필요충분조건은 경사각이 같은 것이다. 그때, 그리고 그때에만, 원점을 지나는 평행선이 같기 때문이다.

보조정리경사각과 기울기

경사각이 α\alpha인 직선이 연직일 필요충분조건은 α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}이다. 연직이 아니면 그 기울기는 경사각의 탄젠트이다. 역으로, 기울기가 mm인 직선의 경사각은 arctan⁡m\arctan m(m≥0m \ge 0일 때), π+arctan⁡m\pi + \arctan m(m<0m < 0일 때)이다.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

모든 것은 원점을 지나고 그 직선에 평행한 직선 위에서 읽을 수 있다. 이 직선은 단위원 위의 점 P(α)P(\alpha)를 포함한다. 그림에서는 직선 y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1와 y=−xy = -x을 사용한다.

증명

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    rr을 경사각이 α\alpha인 직선이라 하고, r0r_0을 원점을 지나는 그 평행선이라 하자. 경사각의 정의에 의해 r0r_0은 각 α\alpha의 동경을 포함하고, 특히 점 P(α)P(\alpha)를 포함한다. rr이 연직이 아니면 r0r_0은 같은 기울기를 가진다. 강좌 I의 직선의 방정식에 관한 수업에 따르면 평행한 두 직선은 기울기가 같기 때문이다. 그림에서는 α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    직선 r0r_0이 연직일 필요충분조건은 그 두 점의 가로 좌표가 같은 것, 곧 cos⁡α=0\cos \alpha = 0인 것이다. [0,π)\ico{0}{\pi}에서 코사인의 영점은 π2\frac{\pi}{2}뿐이다. 그리고 rr이 연직인 것은 그 평행선이 연직일 때와 정확히 일치한다.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    rr이 연직이 아니면 그 기울기는 r0r_0의 기울기, 곧 그 두 점의 세로 좌표의 차와 가로 좌표의 차의 비이다.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    역으로, mm을 rr의 기울기라 하자. 바로 위에서 보인 것에 의해 경사각 α\alpha는 [0,π)\ico{0}{\pi}에 속하는 각이고 그 탄젠트는 mm이다. 삼각방정식에 관한 수업에 따르면 탄젠트가 mm인 각은 수 arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi이고, 그 가운데 정확히 하나가 [0,π)\ico{0}{\pi}에 속한다. arctan⁡m\arctan m은 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 속하므로 그 각은 arctan⁡m\arctan m(m≥0m \ge 0일 때), π+arctan⁡m\pi + \arctan m(m<0m < 0일 때)이다. 그림에서 직선 y=−xy = -x의 경사각은 π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}이다.

예를 들어 직선 y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1의 경사각은 arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}이고, 직선 y=−xy = -x의 경사각은 π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}이다. 이렇게 기울기의 부호는 올라가는 직선(경사각이 예각)과 내려가는 직선(경사각이 둔각)을 구별한다.