기본 삼각항등식

증명

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   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

   역수 관계와 몫의 관계는 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트의 정의 그 자체이다: 각 함수는 분모가 영이 되지 않는 곳에서 정의되며, 그 정의역에서 함수와 그 역수의 곱은 $1$이다. 그림에서 사인과 코사인은 $P(\theta)$의 좌표이다.

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   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}$$

   점 $P(\theta)$에서 원점까지의 거리는 $1$이다: 이것이 첫째 피타고라스 항등식이며, 삼각비에 관한 수업에서 증명하였다. $\cos \theta \neq 0$인 곳에서는 그 양변을 $\cos^2 \theta$로 나누고, $\sin \theta \neq 0$인 곳에서는 $\sin^2 \theta$로 나눈다; 위에서 얻은 항등식에 의해 나머지 두 항등식이 얻어진다.

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   $$\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}$$

   $P(\theta)$의 $x$축에 대한 대칭이동은 $P(-\theta)$이다: 대칭성 정리에 의해 코사인은 우함수이고 사인은 기함수이다. 특히 $-\theta$가 각 함수의 정의역에 속하는 것은 $\theta$가 속할 때와 정확히 같다. 사인과 코사인의 영점이 대칭으로 놓여 있기 때문이다.

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   $$\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta$$

   역수와 몫을 취하면, 식에 사인을 정확히 한 번 포함하는 함수에 음의 부호가 나타난다: 시컨트는 우함수이고, 코시컨트, 탄젠트, 코탄젠트는 기함수이다.

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   $$\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}$$

   $P(\theta)$의 직선 $y = x$에 대한 대칭이동은 $P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$이다: 대칭성 정리에 의해 이 대칭이동은 사인과 코사인을 맞바꾼다.

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   $$\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta$$

   역수와 몫을 취하면 시컨트와 코시컨트, 탄젠트와 코탄젠트도 맞바뀐다. 정의역은 서로 대응한다: $\frac{\pi}{2} - \theta$가 시컨트의 정의역에 속할 필요충분조건은 $\theta$가 코시컨트의 정의역에 속하는 것이다. $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$이기 때문이며, 나머지 함수도 마찬가지이다.

증명

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   $$P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)$$

   정의에 의해 $P$의 좌표는 코사인과 사인이다; $O$에서 $Q$까지의 수평 선분의 길이는 가로 좌표이고, $Q$에서 $P$까지의 연직 선분의 길이는 세로 좌표이며, 둘 다 제1사분면에서 양수이다.

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   $$\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}$$

   원의 $A$에서의 접선은 직선 $x = 1$이다. 동경의 방정식에 $x = 1$을 대입하면 $T$를 얻는다: $A$에서 $T$까지의 선분은 접선 위에 있고, 그 길이는 $\tan \theta$이다.

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   $$T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$$

   점 $T$는 점 $P(\theta)$에 $\sec \theta$를 곱한 것이다. $\sec \theta \cos \theta = 1$이기 때문이다. $P(\theta)$에서 원점까지의 거리가 $1$이므로, $T$에서 원점까지의 거리는 $\sec \theta$이다: $O$에서 $T$까지의 선분은 할선 위에 있고, 그 길이는 시컨트이다.

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   $$\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}$$

   꼭짓점이 $O$, $A$, $T$인 삼각형은 $A$에서 직각이고, 직각을 낀 변은 $1$과 $\tan \theta$, 빗변은 $\sec \theta$이다. 이 삼각형에서의 피타고라스 정리가 둘째 피타고라스 항등식이다.

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   $$\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}$$

   $B$에서의 접선은 직선 $y = 1$이다. $y = 1$을 $y = x \tan \theta$에 대입하면 $x = \cot \theta$를 얻는다; 또 $\csc \theta \sin \theta = 1$이므로, 점 $S$는 $P(\theta)$에 $\csc \theta$를 곱한 것이다. 따라서 $B$에서 $S$까지의 선분의 길이는 코탄젠트이고, $O$에서 $S$까지의 선분의 길이는 코시컨트이다.

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   $$\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}$$

   꼭짓점이 $O$, $B$, $S$인 삼각형은 $B$에서 직각이고, 직각을 낀 변은 $1$과 $\cot \theta$, 빗변은 $\csc \theta$이다: 이 삼각형에서 셋째 피타고라스 항등식이 나온다. 그 $O$에서의 각의 크기는 $\frac{\pi}{2} - \theta$이며, 이 각에 대하여 $\theta$의 코탄젠트는 대변이다: 곧 여각의 탄젠트이다.