शास्त्रीय तर्क की तकनीकें

संदर्भ के भीतर नियम

औपचारिक निगमन प्रणालियों पर पाठ में लुकासिएविच प्रणाली निर्धारित की गई: अभिगृहीत-योजनाएँ A1, A2 और A3, मोडस पोनेन्स (MP) का नियम, और आधार-वाक्यों के किसी समुच्चय $\Gamma$ से निगमन की धारणा, अपने पहले गुणों के साथ: स्वतुल्यता (Refl: यदि $\varphi \in \Gamma$, तो $\Gamma \vdash \varphi$), एकदिष्टता (Mon: यदि $\Gamma \subseteq \Delta$ और $\Gamma \vdash \varphi$, तो $\Delta \vdash \varphi$), कर्तन (Cut), निगमनों के बीच मोडस पोनेन्स (यदि $\Gamma \vdash \varphi$ और $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, तो $\Gamma \vdash \psi$, जिसे MP के रूप में भी उद्धृत किया जाता है), निगमन प्रमेय (DT: यदि $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$, तो $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$) और उसका विलोम (CDT)। निगमन की चार तकनीकों वाले पाठ और संयोजकों की सममितियों वाले पाठ ने प्राकल्पिक न्यायवाक्य (HS), आधार-वाक्यों का विनिमय (IP), दोहरा निषेध (DN), अपने तीनों रूपों में प्रतिपरिवर्तन (CP), तुल्यों का प्रतिस्थापन (Repl), सममितियाँ (Sym) और वियोजन तथा संयोजन के तुल्य रूप जोड़े। इनमें से पहले ने, दोहरा निषेध सिद्ध करने के बाद, पाठ्यक्रम की प्रणाली को एक दूसरे मूल नियम से पूरा भी किया, दोहरे निषेध का प्रतिस्थापन (RDN): यदि $\chi'$, $\chi$ से किसी उपसूत्र $\theta$ की एक उपस्थिति को $\neg\neg\theta$ से, या $\neg\neg\theta$ की एक उपस्थिति को $\theta$ से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है, तो $\chi$ से $\chi'$ का अनुमान किया जाता है। आगे से, $\vdash$ इसी प्रणाली (A1 से A3, MP और RDN) को सूचित करता है, जिसमें स्वतुल्यता, एकदिष्टता, कर्तन, निगमन प्रमेय और उसका विलोम मान्य बने रहते हैं; इस पाठ की तकनीकें उसके व्युत्पन्न नियम हैं, यद्यपि उनकी कोई भी उपपत्ति RDN का सीधे उपयोग नहीं करती: नियम तुल्य रूपों और तुल्यों के प्रतिस्थापन के माध्यम से काम करता है, जिन्हें सममितियों वाले पाठ ने उसी से सिद्ध किया।

किंतु गणित में कोई भी आधार-वाक्यों के बिना युक्ति नहीं करता: युक्ति कुछ अभिगृहीतों से, किसी प्रमेय की परिकल्पनाओं से और किसी स्थिति पर विचार करने के लिए मानी गई बातों से की जाती है। यदि ऐसा है, तो युक्ति की कोई तकनीक तभी उपयोगी है जब उसे आधार-वाक्यों के ऐसे समुच्चय $\Gamma$ के साथ कहा जाए जो पंक्ति-दर-पंक्ति आगे ले जाया जाता है। इससे यह निकलता है कि इस पाठ का प्रत्येक नियम किसी भी $\Gamma$ के लिए कहा और सिद्ध किया जाता है; आधार-वाक्य रहित स्थिति विशेष स्थिति $\Gamma = \emptyset$ है, न कि इसका उलटा।

उपपत्तियाँ निगमनों पर निगमन हैं: प्रत्येक पंक्ति यह कहती है कि कुछ किसी समुच्चय से निगम्य है, $\Gamma \vdash \varphi$, और उसका औचित्य पूर्ववर्ती पंक्तियों की ओर संकेत करता है। उनमें, “आधार-वाक्य” उन पंक्तियों को दर्शाता है जिन्हें नियम का कथन मान लेता है, और किसी अभिगृहीत (A1, A3) या पहले से सिद्ध किसी प्रमेय (जैसे Id, प्रमेय $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$) का नाम एक ऐसी पंक्ति $\Gamma \vdash \varphi$ को दर्शाता है जिसमें $\varphi$ उस योजना या उस प्रमेय का दृष्टांत है, जो किसी भी समुच्चय से निगम्य है।

निगमन की चार तकनीकों वाले पाठ ने एकदिष्टता और कर्तन से “परिणाम से नियम तक” प्रमेयिका सिद्ध की, जो काम करने के इस ढंग को संभव बनाती है: यदि $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ और $\Gamma \vdash \alpha_{i}$, प्रत्येक $i$ के लिए, तो $\Gamma \vdash \beta$। $n = 1$ के साथ, किसी तुल्यता $\alpha \dashv\vdash \alpha'$ की प्रत्येक दिशा में लागू करने पर, यह कहती है कि $\Gamma \vdash \alpha$ यदि और केवल यदि $\Gamma \vdash \alpha'$। अतः पहले से सिद्ध प्रत्येक नियम और पहले से सिद्ध प्रत्येक तुल्यता आधार-वाक्यों वाले निगमन की पंक्तियों पर लागू होते हैं: यदि कोई पंक्ति $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$ कहती है, तो प्रतिपरिवर्तन उसके नीचे $\Gamma \vdash (\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$ लिखने और उसका औचित्य “CP” तथा पंक्ति की संख्या से देने की अनुमति देता है। सममितियों वाले पाठ के दो तुल्य रूपों के लिए, जिनका उपयोग निरंतर होगा, “Eq” लिखा जाता है:

इस पर बल देना उचित है कि इन दोनों तुल्यताओं में से पहली परिभाषा नहीं है; दूसरी, जैसा कि सममितियों वाले पाठ ने दिखाया, प्रतीक-शृंखलाओं की सर्वसमिका है, परंतु उसे पहली के साथ “Eq” के रूप में उद्धृत किया जाता है। परिभाषा से, $(\varphi \vee \psi)$, $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ है और $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$, $(\neg\neg\varphi \vee \psi)$ है, जो भिन्न प्रतीक-शृंखलाएँ हैं; एक को दूसरी के रूप में “सोपाधिक की परिभाषा से” पढ़ना वही भूल है जिससे यह पाठ बचता है। इसके विपरीत, “Def” उसी प्रतीक-शृंखला को किसी दूसरे नाम से लिखने के लिए सुरक्षित है, जैसे जब $(\varphi \rightarrow \psi)$ को $(\neg\varphi \vee \psi)$ के रूप में पढ़ा जाता है।