प्रस्तावात्मक तर्क का अर्थविज्ञान

सूत्रों का अर्थ

भाषा की इकाई ने, प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा पर पाठ में, दो प्रतीकों की शृंखलाओं का एक समुच्चय बनाया, और निगमन की इकाई ने सिखाया कि अभिगृहीतों और नियमों से कुछ शृंखलाओं से अन्य शृंखलाएँ कैसे प्राप्त की जाती हैं। दोनों में से किसी ने सत्यता की बात नहीं की: निगमन प्रणाली प्रतीकों को उनके रूप के अनुसार बदलती है, उस यंत्र की तरह जो यह नहीं समझता कि वह क्या लिखता है। फिर भी, भाषा कथनों को निरूपित करने के लिए बनाई गई थी, और प्राकृतिक भाषा के औपचारिकीकरण पर पाठ ने उन्हें अनौपचारिक पठन दिए: $(\varphi \downarrow \psi)$ सत्य होता है जब $\varphi$ और $\psi$ दोनों असत्य हों, और शेष संयोजकों के पठन इसी से प्राप्त किए गए। अर्थविज्ञान इन पठनों को गणितीय परिभाषाओं में बदलता है।

दो निर्णय इसकी नींव हैं। पहला है द्वि-मानता: ठीक दो सत्यता मान हैं, जो $1$ (सत्य) और $0$ (असत्य) लिखे जाते हैं, और प्रत्येक सूत्र का, प्रत्येक स्थिति में, इनमें से एक मान होता है। दूसरा है सत्यता-फलनात्मकता: किसी संयुक्त सूत्र का मान केवल उसके घटकों के मानों पर निर्भर करता है, उसके विषय पर नहीं, जिससे चरों की सत्यता सभी सूत्रों की सत्यता निर्धारित करती है। औपचारिकीकरण पर पाठ ने इस दूसरे निर्णय की कीमत दिखाई (कार्य-कारणता, प्रकारता और काल बाहर रह जाते हैं); इसका प्रतिफल यह है कि पूरी भाषा का अर्थविज्ञान केवल एक खंड से प्राप्त होता है, मूल संयोजक के खंड से।

इसके अतिरिक्त, ध्यान देना चाहिए कि यह इकाई पूरी तरह अधिभाषा में काम करती है। “$\varphi$ अमुक मान-नियतन के अंतर्गत सत्य है” या “$\varphi$ एक पुनरुक्ति है” जैसे कथन सूत्र नहीं हैं, बल्कि सूत्रों के बारे में गणितीय कथन हैं, और वे सामान्य गणितीय विचार से सिद्ध किए जाते हैं, प्रायः जटिलता पर आगमन से; वे पाठ्यक्रम की प्रणाली में निगमन नहीं हैं। दोनों जगतों के बीच का संबंध, अर्थात यह कि हर निगम्य वस्तु सत्य है और इस इकाई के सटीक अर्थ में हर सत्य वस्तु निगम्य है, अधिसिद्धांत की इकाई का विषय है।