अर्थविज्ञान: परिचय

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1. प्रश्न 1पिछली इकाइयों सेसूत्रों पर एक फलन इस तरह परिभाषित होता है: हर चर पर उसका मान दिया जाता है, और एक नियम दिया जाता है जो $\sigI\varphi\psi$ पर उसका मान $\varphi$ से, $\psi$ से और दोनों पर उसके मानों से परिकलित करता है। क्या सुनिश्चित करता है कि इस तरह ठीक एक फलन परिभाषित होता है?

   अद्वितीय पठनीयता: हर संयुक्त सूत्र अपनी आरंभिक चक्रिका और अपने दो घटकों में केवल एक ही तरह से विघटित होता है।

   यह कि नियम हमेशा $0$ या $1$ लौटाता है।

   कुछ नहीं: मान को सूत्र-दर-सूत्र जाँचना पड़ता, और चूँकि सूत्र अनंत हैं, यह नहीं किया जा सकता।

   यह कि संक्षेपण $\neg$, $\vee$ और $\wedge$ की भी अद्वितीय पठनीयता हो।

2. प्रश्न 2पिछली इकाइयों सेपाठ्यक्रम के आधिकारिक संक्षेपणों के अनुसार, $(\varphi \vee \varphi)$ कौन-सा सूत्र है?

   वही प्रतीक-शृंखला जो $\neg\neg\varphi$ है।

   वर्गसमता के कारण, स्वयं $\varphi$।

   $(\varphi \downarrow \varphi)$।

   कोई नहीं: वियोजन के लिए दो भिन्न सूत्र चाहिए।

3. प्रश्न 3पिछली इकाइयों सेजटिलता पर आगमन से यह सिद्ध करने के लिए कि सभी सूत्रों में कोई गुण है, किन स्थितियों पर विचार करना होता है?

   चर और एकमात्र निर्माण नियम, $\sigI\varphi\psi$, अर्थात् $(\varphi \downarrow \psi)$।

   चर, निषेध, संयोजन और वियोजन।

   केवल नियम $(\varphi \downarrow \psi)$: चर उसकी एक विशेष स्थिति हैं।

   चर और छह संयोजक $\neg$, $\vee$, $\wedge$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$ और $\veebar$।

4. प्रश्न 4पिछली इकाइयों सेआगमन वाले पाठ की परिभाषा के अनुसार, सूत्र $\alpha$ के स्थान पर सूत्र $\beta$ को $\varphi$ में रखने पर, $\alpha$ की कौन-सी उपस्थितियाँ बदलती हैं?

   उपसूत्र के रूप में उसकी सभी उपस्थितियाँ, एक साथ।

   केवल पहली, प्रतीक-शृंखला को बाएँ से दाएँ पढ़ते हुए।

   केवल वे जो संक्षिप्त लेखन में दिखती हैं।

   $\alpha$ की उपस्थितियाँ और फिर वे जो $\beta$ की प्रतियों में प्रकट हों।

5. प्रश्न 5एक मान-नियतन $p$ को मान $0$ देता है और $q$ को मान $1$। यदि $(\varphi \downarrow \psi)$ का मान $1$ है ठीक तब जब $\varphi$ और $\psi$ का मान $0$ हो, तो सूत्र $(p \downarrow (q \downarrow p))$ कौन-सा मान लेता है?

   $1$।

   $0$, क्योंकि $q$ का मान $1$ है।

   अन्य चरों के मान जाने बिना इसे परिकलित नहीं किया जा सकता।

   यह इस पर निर्भर है कि घटकों को कैसे समूहित किया जाए।

6. प्रश्न 6$\not\models \varphi$ का क्या अर्थ है?

   यह कि कोई मान-नियतन $\varphi$ को मान $0$ देता है: $\varphi$ वैध नहीं है।

   यह कि $\varphi$ व्याघात है।

   यह कि कोई मान-नियतन $\varphi$ को संतुष्ट नहीं करता।

   यह कि $\varphi$ पाठ्यक्रम की प्रणाली में निगम्य नहीं है।

7. प्रश्न 7ज्ञात है कि $\Gamma \cup \{\varphi\} \models \psi$: हर मान-नियतन जो $\Gamma$ और $\varphi$ को संतुष्ट करता है, $\psi$ को संतुष्ट करता है। इससे क्या निकलता है?

   $\Gamma \models (\varphi \rightarrow \psi)$।

   $\Gamma \models \psi$।

   $\Gamma \models (\psi \rightarrow \varphi)$।

   $\models (\varphi \rightarrow \psi)$।

8. प्रश्न 8सूत्र $(v_{1} \vee \neg v_{1})$ वैध है। समरूप स्थापन प्रमेय के अनुसार निम्नलिखित सूत्रों में से कौन-सा वैध है?

   $(\neg v_{2} \vee \neg\neg v_{2})$।

   $(v_{1} \vee \neg v_{2})$।

   $(\neg v_{2} \vee \neg v_{3})$।

   कोई नहीं: समरूप स्थापन केवल कुछ चरों को दूसरे चरों से बदलने देता है।

9. प्रश्न 9पाठ्यक्रम की परिपाटी के अनुसार, कोष्ठकों के बिना लिखा गया व्यंजक $v_{1} \wedge v_{2} \wedge v_{3}$ किस सूत्र को निर्दिष्ट करता है?

   $((v_{1} \wedge v_{2}) \wedge v_{3})$।

   $(v_{1} \wedge (v_{2} \wedge v_{3}))$।

   दोनों समूहन, क्योंकि वे एक ही प्रतीक-शृंखला हैं।

   कोई नहीं: कोष्ठकों के बिना व्यंजक कुछ भी निर्दिष्ट नहीं करता।

10. प्रश्न 10दो संकार्यों का एक सत्यता फलन एक मान, $0$ या $1$, चार पंक्तियों $(1, 1)$, $(1, 0)$, $(0, 1)$ और $(0, 0)$ में से प्रत्येक को देता है। दो संकार्यों के कितने सत्यता फलन हैं?

11. प्रश्न 11क्या चरों से केवल $\wedge$ और $\vee$ के साथ लिखा गया कोई सूत्र मान $0$ ले सकता है, उस मान-नियतन में जो सभी चरों को $1$ देता है?

    नहीं: केवल $\wedge$ और $\vee$ के साथ लिखा गया हर सूत्र उस मान-नियतन में मान $1$ लेता है।

    हाँ, यदि पर्याप्त संयोजन और वियोजन एक-दूसरे में नीड़ित किए जाएँ।

    हाँ: चूँकि संयुक्त निषेध अकेले पर्याप्त है, संयोजन और वियोजन भी पर्याप्त हैं।

    हर सूत्र की सारणी लिखे बिना यह नहीं जाना जा सकता।

12. प्रश्न 12लिटरल एक चर या एक चर का निषेध है। निम्नलिखित सूत्रों में से कौन-सा लिटरल है?

    $\neg v_{2}$।

    $\neg\neg v_{1}$।

    $(v_{1} \wedge v_{2})$।

    $\top$।

13. प्रश्न 13क्या संयोजक प्रसामान्य रूप $(\neg v_{1} \vee v_{2} \vee v_{1}) \wedge (v_{3} \vee \neg v_{2})$ वैध है?

    नहीं: दूसरे उपवाक्य में कोई पूरक युग्म नहीं है, और वह मान-नियतन जो $0$ को $v_{3}$ के लिए और $1$ को $v_{2}$ के लिए नियत करता है, इसे खंडित करता है।

    हाँ: पहले उपवाक्य में एक पूरक युग्म है, और एक पर्याप्त है।

    हाँ, क्योंकि यह संतोषणीय है।

    आठ पंक्तियों की सारणी के बिना इसका निर्णय नहीं किया जा सकता।

14. प्रश्न 14किसी सूत्र को वियोजक प्रसामान्य रूप में लाने के लिए संयोजन को वियोजन पर वितरित किया जाता है। सही नियम कौन-सा है?

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \wedge \psi) \vee (\varphi \wedge \chi))$।

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \wedge \psi) \vee (\varphi \vee \chi))$।

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \vee \psi) \wedge (\varphi \vee \chi))$।

    $(\varphi \wedge (\psi \vee \chi)) \longmapsto ((\varphi \wedge \psi) \vee \chi)$।

15. प्रश्न 15एक परिपथ में दो सीधे स्विच, लीवर $p$ और $q$ के, श्रेणी में जुड़े हैं, और यह खंड लीवर $r$ के एक सीधे स्विच के साथ समांतर में है। कौन-सा सूत्र बताता है कि परिपथ कब चालन करता है?

    $((p \wedge q) \vee r)$।

    $((p \vee q) \wedge r)$।

    $((p \wedge q) \wedge r)$।

    $((p \vee q) \vee r)$।