प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रमाण

1. 1
   $$0 \leq \alpha < \beta \leq \pi$$

   मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ ऐसे हैं कि $0 \leq \alpha < \beta \leq \pi$। बिंदु $P(\alpha)$ और $P(\beta)$ उन चापों के अंतिम बिंदु हैं जिनकी लंबाइयाँ $\alpha$ और $\beta$ हैं और जो $(1, 0)$ से वामावर्त दिशा में चलते हैं; दोनों गमन के पहले आधे चक्कर में हैं, जो ऊपरी अर्धवृत्त को ढकता है।

2. 2
   $$\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}$$

   अभिगृहीत के आधे चक्कर के गुण से, पहले आधे चक्कर के दौरान गमन करते बिंदु का भुज दृढ़तः घटता है: $P(\alpha)$ का भुज $P(\beta)$ के भुज से बड़ा है। चूँकि परिभाषा से कोज्या $P(\theta)$ का भुज है, भुजों के बीच की असमिका कोज्याओं के बीच की असमिका है।

3. 3
   $$\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}$$

   अब मान लीजिए $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}$। उनके पूरक कोण $\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha$ को संतुष्ट करते हैं और $\icc{0}{\pi}$ में हैं; पूरक कोणों की सममिति से किसी कोण की ज्या उसके पूरक कोण की कोज्या है, और चूँकि कोज्या $\icc{0}{\pi}$ पर घटती है, ज्या $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर बढ़ती है।

4. 4
   $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}$$

   स्पर्शज्या के लिए, मान लीजिए $0 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$। ऊपर के चरणों से $0 \leq \sin \alpha < \sin \beta$ और $\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0$। पहले अंश को बढ़ाने और फिर हर को घटाने पर, दोनों के धनात्मक होने से, भागफल बढ़ता है।

5. 5
   $$\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta$$

   स्पर्शज्या विषम है, क्योंकि वह विषम ज्या और सम कोज्या का भागफल है। यदि $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0$, तो उनकी विपरीत संख्याएँ $0 \leq -\beta < -\alpha$ को संतुष्ट करती हैं, और चिह्न बदलने पर ठीक ऊपर वाले चरण की असमिका उलट जाती है; यदि $\alpha < 0 < \beta$, तो स्पर्शज्या $\alpha$ पर ऋणात्मक और $\beta$ पर धनात्मक है। अतः स्पर्शज्या पूरे अंतराल $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर बढ़ती है।

प्रमाण

1. 1
   $$0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}$$

   ऊपर की प्रमेय से तीनों प्रतिबंध दृढ़तः एकदिष्ट हैं, और प्रत्येक दृढ़तः एकदिष्ट फलन एकैकी होता है: ऊपरी अर्धवृत्त के दो अलग-अलग कोणों के भुज अलग-अलग होते हैं।

2. 2
   $$Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}$$

   मान लीजिए $c$ ऐसा है कि $-1 \leq c \leq 1$। नीचे दिया गया बिंदु $Q$ मात्रक वृत्त पर है; आवरण गुण से और इसलिए कि एक चक्कर बिंदुओं को नहीं दोहराता, वह $P(\theta)$ है, जहाँ $\theta$, $\ico{0}{2\pi}$ में एकमात्र संख्या है।

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   $$\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}$$

   $Q$ की कोटि ऋणात्मक नहीं है, और त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में दिए गए चतुर्थांशों के अनुसार चिह्नों से ज्या $\ioo{\pi}{2\pi}$ पर ऋणात्मक है: वह $\theta$, $\icc{0}{\pi}$ में है, और उसकी कोज्या $c$ है। प्रतिबंधित कोज्या $\icc{-1}{1}$ के सभी मान लेती है।

4. 4
   $$\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$$

   पूरक कोणों की सममिति से $\frac{\pi}{2} - \theta$ की ज्या $\theta$ की कोज्या है, और जब $\theta$, $\icc{0}{\pi}$ में चलता है, तो उसका पूरक कोण $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में चलता है: प्रतिबंधित ज्या भी $\icc{-1}{1}$ के सभी मान लेती है।

5. 5
   $$\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m$$

   स्पर्शज्या के लिए, त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख वाले पाठ की स्पर्शज्या के गुणधर्मों की प्रमेय कहती है कि उसका परिसर $\mathbb{R}$ है: $m$ दिया हो, तो प्रवणता $m$ वाली रेखा, जो मूल बिंदु से होकर जाती है, दाएँ अर्धवृत्त को एक बिंदु $P(x)$ पर काटती है, जिसमें $x$, $-\frac{\pi}{2}$ और $\frac{\pi}{2}$ के बीच है। यह आवर्तिता से भी दिखता है: यदि $\tan x = m$, तो $x$ में से $\pi$ का एक पूर्णांक गुणज घटाने पर, जैसा प्रथम चक्कर में समानयन में होता है, उस अंतराल की एक संख्या मिलती है जिसकी स्पर्शज्या वही है।