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गणित और तर्कशास्त्र: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ पाठ्यक्रम की चौथी इकाई को समाप्त करता है, जो गणित और तर्कशास्त्र को समर्पित है। यह उन सिद्धांतों और क्रियाविधियों की शृंखला को फिर से गढ़ता है जो गणितीय मोड से निगमन-वृक्षों तक जाती है, और हर कड़ी पर बताता है कि कौन-सा सिद्धांत प्रयुक्त होता है और वह किस पाठ में स्थापित होता है; उपलब्धियों को पाठ्यक्रम की योजना के सापेक्ष रखता है और स्पष्ट करता है कि कौन-से प्रश्न, जिनका केवल पूर्वाभास दिया गया, आगे की इकाइयों के लिए रहते हैं; अपने समापन मूल्यांकन में प्रवेश मूल्यांकन के कौशलों को दोहराता है; और छह चुनौतियों के साथ समाप्त होता है, जो पाठों के प्रश्नों से कठिन हैं और जिनमें उनमें से कई को मिलाना पड़ता है: कथनों, उपपत्ति और संदर्भों वाले नोट्स रचना, ऐसे दस्तावेज़ों का निदान करना जो ऐसे दोषों के साथ कंपाइल होते हैं जिनकी कोई सूचना नहीं देता, किसी तार्किक संकेतन को एक परंपरा से दूसरी में ले जाना, कई शाखाओं वाला निगमन बनाना और उसकी त्रुटियाँ दूर करना, भौतिकी की किसी रिपोर्ट के क्रमांकों और राशियों का पूर्वानुमान लगाना, और दो असंगत प्रस्तावनाओं को मिलाना।

अधिगम उद्देश्य

  1. इकाई की क्रियाविधियों के क्रम को फिर से गढ़ना, और पहचानना कि हर एक किस सिद्धांत पर टिकी है।
  2. समझाना कि गणितीय लेखन के इतने सारे दोष बिना चेतावनी के कंपाइल क्यों होते हैं, और परिणाम या लॉग में उनका निशान कहाँ खोजना है।
  3. इकाई ने जो स्थापित किया उसे उससे अलग करना जिसका उसने केवल पूर्वाभास दिया और जिसे आगे की इकाइयाँ विकसित करेंगी।
  4. समीकरणों, कथनों और इकाइयों वाले स्रोत से बनने वाले क्रमांकों, संदर्भों और राशियों का पूर्वानुमान लगाना, और स्रोत को सुधारना।
  5. ऐसी प्रस्तावना रचना जो किसी कार्य का संकेतन, कथन और पैकेजों के लोड होने का क्रम तय करे, और मुख्य भाग को छुए बिना परिपाटी बदलने दे।

इकाई की उपलब्धियाँ

इकाई का उद्देश्य यह था कि सूत्र का हर चिह्न अपने अर्थ के अनुसार टाइपसेट हो, और किसी कार्य का संकेतन उसके सभी पृष्ठों पर एक जैसा रहे। यह उद्देश्य उस पर टिककर पूरा हुआ जिसे परिचय ने पिछली इकाइयों से ज्ञात माना था: क्रॉस-संदर्भ, जो इस पर निर्भर करते हैं कि लेबल क्या दर्ज करता है; अपनी कमांडें, जो रूप के निर्णयों को प्रस्तावना में इकट्ठा करती हैं; और लॉग को पढ़ना। इस प्रकार तय किया गया मार्ग पाँच खंडों वाली एक ही शृंखला के रूप में पढ़ा जा सकता है।

पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र

पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्रों वाले पाठ ने वह सिद्धांत स्थापित किया जिस पर लगभग सभी अन्य टिके हैं: गणितीय मोड में स्रोत की रिक्तियाँ नहीं गिनी जातीं, और इंजन हर चिह्न को उसके वर्ग के अनुसार अलग करता है: साधारण, द्विआधारी संकारक, संबंध, विराम चिह्न, आरंभक या समापक। इससे उसने निकाला कि चर को \textit से क्यों नहीं लिखा जाता, $12,345$ “12, 345” क्यों देता है, और वाक्य का विराम चिह्न पंक्ति के भीतर के सूत्र के बाहर क्यों जाता है। उसने दिखाया कि LuaLaTeX में अपने मोड से बाहर लिखा यूनानी अक्षर त्रुटि नहीं देता, बल्कि गायब हो जाता है या अनियंत्रित रूप से प्रकट होता है, और लॉग में केवल एक पंक्ति “Missing character” छोड़ता है; प्रदर्शित सूत्र पर वाक्य के भाग के रूप में विराम चिह्न लगाए, बिना ख़ाली पंक्तियों और बिना $$ के; equation, \eqref, \numberwithin और \tag से क्रमांक दिए; \text को \mathrm से अलग किया; और दशमलव बिंदु का अध्ययन किया, जो भारतीय प्रचलन है, अल्पविराम का, जो सूत्र में विराम चिह्न है और संख्या का भाग होने पर धनु कोष्ठकों में जाता है, icomma पैकेज का, और siunitx का, जिसकी पूर्वनिर्धारित सेटिंग पहले से भारतीय प्रचलन के अनुरूप है और जिसका locale = UK दस्तावेज़ को किसी दूसरी भाषा से विरासत में मिली प्रस्तावना से बचाता है।

प्रतीक और संकेतन

प्रतीक और संकेतन वाला पाठ समूहन के एक नियम से आरंभ हुआ: ^ और _ एक ही अवयव पर या धनु कोष्ठकों में रखे समूह पर कार्य करते हैं। उसने भिन्न, मूल, यूनानी अक्षर और वर्णमालाएँ देखीं, जिनमें वे संयोजन भी हैं जो fontspec के साथ बिना त्रुटि के खो जाते हैं, जैसे \mathbf{\Gamma}; नामयुक्त संकारक, जिन्हें हिंदी के लिए babel जैसे हैं वैसे ही छोड़ देता है, और वह जो स्पेनी के लिए babel उनमें बदलता है, जो हस्तक्षेप करने वाली भाषाओं में सबसे स्पष्ट उदाहरण है (\lim बलाघात चिह्न के साथ, नया \sen, अछूता \sin), और वह जो es-minimal हटा देता है; बड़े संकारक, परिसीमक और उनके आकार; किसी अज्ञात प्रतीक की खोज; और unicode-math, अपनी चार सावधानियों के साथ। अंत में वह संकेतन को प्रस्तावना में ले गया, ऐसी अपनी कमांडों में जो एक बार तय होती हैं।

अनेक पंक्तियों वाले समीकरण

अनेक पंक्तियों वाले समीकरणों वाले पाठ ने एक के नीचे एक जमाए गए सूत्रों और eqnarray की जगह align रखा, संबंध से पहले & के साथ, और स्थापित किया कि संरेखण-परिवेश एक सारणी है: हर \\ के लिए एक पंक्ति और दो & के बीच के हर खंड के लिए एक खाना। इससे उसने उसके मौन दोष निकाले (=&, फ़ालतू &, अंत का दोहरा बैकस्लैश जो एक ख़ाली पंक्ति को क्रमांक देता है, \notag वाली पंक्ति पर लेबल) और उसकी मुखर त्रुटियाँ; gather, multline, split, aligned और gathered में से उस क्रमांक के अनुसार चुना जो समूह को धारण करना है; cases और dcases से खंडशः परिभाषाएँ, \intertext से पाठ, आव्यूह और संवर्धित आव्यूह टाइपसेट किए; subequations से समूहों को क्रमांक दिए और पृष्ठ-विभाजन की अनुमति दी।

प्रमेय और उपपत्तियाँ

प्रमेय और उपपत्तियाँ वाले पाठ ने कथनों पर नक़ल करने के बजाय घोषित करने का विचार लागू किया: amsthm के साथ \newtheorem हर प्रकार के कथन का शीर्षक, क्रमांक और शैली तय करता है। उसने निकाला कि कब साझा काउंटर उपयुक्त है और कब अलग-अलग, कब अनुभाग या अध्याय के अनुसार क्रमांकन, और कौन-सी शैली उससे मेल खाती है जिसे कहा जाता है, जिसे निर्धारित किया जाता है और जो साथ चलता है। उसने उपपत्तियाँ proof से टाइपसेट कीं, जिसका शीर्षक babel से आता है (हिंदी में “प्रमाण”), और अनाथ वर्ग को \qedhere से सुधारा; amsthm के बाद लोड किए गए cleveref से, हर परिवेश के लिए एक \crefname के साथ, संदर्भ दिए, और पाया कि \newtheorem के साझा काउंटर के साथ cleveref हर कथन को “प्रमेय” कहता है, एक दोष जिसे thmtools सुधारता है।

तर्कशास्त्र और निगमन

तर्कशास्त्र और निगमन वाले पाठ ने वस्तु-भाषा को अधिभाषा से अलग किया, \to बनाम \Rightarrow और चिह्नों \vdash, \models और \equiv के साथ; चिह्न के वर्ग का सिद्धांत निषेध के टिल्ड, समुच्चयों की खड़ी रेखा और फलनों के कोलन पर लागू किया; हर संयोजक के लिए एक कमांड प्रस्तावित की, चिह्न बदलने के लिए बिना आर्गुमेंटों के और वाक्य-रचना बदलने के लिए आर्गुमेंटों के साथ; मोडल चिह्नों के पैकेज एकत्र किए; array से सत्यता सारणियाँ टाइपसेट कीं; और bussproofs से प्राकृतिक निगमन के वृक्ष बनाए, जिसके स्टैक का तर्क उसकी दो त्रुटियों को समझाता है, साथ ही Fitch बक्से और मानक रूप में तर्क भी।

नीचे का चित्र पाँचों खंडों को एक ही शृंखला में जोड़ता है। स्तंभ की हर गाँठ एक क्रियाविधि या नियम है, उस क्रम में क्रमांकित जिसमें वे एक-दूसरे पर टिके हैं, और एक चाप से उन पिछली कड़ियों से जुड़ी है जिनका वह उपयोग करती है; चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत जिनका सहारा शृंखला बार-बार लेती है, हर एक ठोस रेखा से उन कड़ियों से जुड़ा जो उस पर टिकी हैं और बिंदुदार रेखा से उस कड़ी से जहाँ वह स्थापित होता है, सिवाय उनके जो पिछली इकाइयों में स्थापित हुए, जो छल्लों के रूप में बनाए गए हैं। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका उपयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जिसमें उसका अध्ययन होता है।

शृंखला के आधार

  • Aलेबल क्या दर्ज करता है. लेबल अपने से पहले, अपने परिवेश के भीतर, दिया गया अंतिम क्रमांक दर्ज करता है, यह जाने बिना कि वह किससे जुड़ा है। पिछली इकाई में स्थापित। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
  • Bअपनी कमांडें. अपनी कमांड किसी कार्य को नाम देती है, और उसकी परिभाषा, प्रस्तावना में एक बार लिखी हुई, उसका रूप तय करती है; उसे बदलने से पूरा दस्तावेज़ बदल जाता है। पिछली इकाई में स्थापित। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
  • Cलोड करने का क्रम. पैकेज उसी क्रम में लोड होते हैं जिसमें पढ़े जाते हैं, और बाद वाला पैकेज पहले वाले के किए को समायोजित करता है, बनाए रखता है या पलट देता है। पिछली इकाई में स्थापित। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
  • Dचिह्न का वर्ग. गणितीय मोड में इंजन हर चिह्न को उसके वर्ग (साधारण, द्विआधारी संकारक, संबंध, विराम चिह्न, आरंभक, समापक) के अनुसार अलग करता है और स्रोत की रिक्तियों को अनदेखा करता है। स्थापित होता है: 1. दो मोड.
  • Eजो बिना त्रुटि के गायब होता है. LuaLaTeX में, प्रयुक्त फ़ॉन्ट में न होने वाला चिह्न कंपाइलेशन नहीं रोकता: वह गायब हो जाता है, और लॉग में केवल एक पंक्ति “Missing character” छोड़ता है। स्थापित होता है: 2. ग़लत मोड में चिह्न.
  • Fएक अवयव या एक समूह. पादांक, घातांक और आर्गुमेंट अगले अवयव पर या धनु कोष्ठकों में रखे समूह पर कार्य करते हैं, और कोष्ठक छपते नहीं। स्थापित होता है: 6. पादांक और घातांक.
  • Gसंरेखण एक सारणी है. संरेखण-परिवेश हर \\ के लिए एक पंक्ति और दो & के बीच के हर खंड के लिए एक खाना बनाता है, भले ही पंक्ति ख़ाली रह जाए। स्थापित होता है: 11. align से संरेखण.
  • Hवृक्षों का स्टैक. n आधारवाक्यों वाला अनुमान स्टैक के अंतिम n वृक्ष उठाता है और एक लौटाता है; उपपत्ति तभी छपती है जब अंत में ठीक एक वृक्ष बचे। स्थापित होता है: 23. निगमन-वृक्ष.

  1. खंड 1 पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र

    • ग़लत मोड में लिखे गए चिह्न, चर या शब्द के परिणाम का पूर्वानुमान लगाना।
    • पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्रों पर वाक्य के भागों के रूप में विराम चिह्न लगाना।
    • प्रदर्शित सूत्रों को क्रमांक देना और उनका संदर्भ देना।
    • दशमलव संख्याएँ और राशियाँ भारतीय प्रचलन के अनुसार लिखना, siunitx के साथ या उसके बिना।

    1. दो मोड. गणितीय मोड में अक्षर चर हैं, स्रोत की रिक्तियाँ नहीं गिनी जातीं, दूरी हर चिह्न का वर्ग तय करता है और ख़ाली पंक्ति स्वीकार नहीं होती।

      आधार: D (चिह्न का वर्ग). सिद्ध किया गया: पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र.

    2. ग़लत मोड में चिह्न. पाठ में _ “Missing $ inserted” देता है; सूत्र के बाहर \alpha गायब हो जाता है या चिपका हुआ प्रकट होता है; सूत्र के भीतर का शब्द चरों का गुणनफल है और \text या \mathrm में जाता है, जो परस्पर विनिमेय नहीं हैं।

      उपयोग करती है: 1. दो मोड. आधार: E (जो बिना त्रुटि के गायब होता है). सिद्ध किया गया: पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र.

    3. वाक्य में सूत्र. पंक्ति के भीतर का सूत्र अपनी ऊँचाई सीमित रखता है और वाक्य का विराम चिह्न बाहर छोड़ता है; प्रदर्शित सूत्र पर विराम चिह्न भीतर लगता है, बिना ख़ाली पंक्तियों के, \[…\] या equation से, और कभी $$ से नहीं।

      उपयोग करती है: 1. दो मोड. आधार: D (चिह्न का वर्ग). सिद्ध किया गया: पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र.

    4. क्रमांक और संदर्भ. equation क्रमांक देता है और उसका लेबल भीतर जाता है; \eqref कोष्ठक लगाता है; \numberwithin अनुभाग के अनुसार क्रमांक देता है; \tag क्रमांक ख़र्च किए बिना एक चिह्नक लगाता है।

      उपयोग करती है: 3. वाक्य में सूत्र. आधार: A (लेबल क्या दर्ज करता है). सिद्ध किया गया: पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र.

    5. बिंदु और अल्पविराम. सूत्र का अल्पविराम विराम चिह्न है, और संख्या का भाग होने वाला अल्पविराम धनु कोष्ठकों में जाता है, {,}; बिंदु साधारण चिह्न है; हिंदी के लिए babel दोनों में से किसी को नहीं बदलता, और siunitx अपनी परिपाटी \sisetup से लेता है, babel से नहीं।

      उपयोग करती है: 1. दो मोड. आधार: D (चिह्न का वर्ग). सिद्ध किया गया: पंक्ति के भीतर और प्रदर्शित सूत्र.

  2. खंड 2 प्रतीक और संकेतन

    • पादांकों और घातांकों का समूहन करना और पूर्वानुमान लगाना कि धनु कोष्ठकों के बिना क्या छूट जाता है।
    • विषय की परिपाटी के अनुसार वर्णमाला, रूपांतर और संकारक चुनना।
    • पहले से जानना कि babel संकारकों में क्या बदलता है: हिंदी में कुछ नहीं, स्पेनी में बहुत कुछ।
    • दस्तावेज़ का संकेतन उसकी प्रस्तावना में तय करना।

    1. पादांक और घातांक. x^10 केवल 1 को ऊपर उठाता है; x^{10} पूरे समूह को; एक ही प्रकार के दो लगातार सूचकांक “Double subscript” या “Double superscript” देते हैं।

      उपयोग करती है: 1. दो मोड. आधार: F (एक अवयव या एक समूह). सिद्ध किया गया: प्रतीक और संकेतन.

    2. अक्षर और वर्णमालाएँ. हर वर्णमाला बताती है कि नामित वस्तु किस प्रकार की है; fontspec के साथ \mathbf{\Gamma} गायब हो जाता है और \mathbf{\alpha} गाढ़ा नहीं निकलता, और किसी प्रतीक का गाढ़ा रूप \boldsymbol है।

      उपयोग करती है: 6. पादांक और घातांक. आधार: E (जो बिना त्रुटि के गायब होता है). सिद्ध किया गया: प्रतीक और संकेतन.

    3. नामयुक्त संकारक. संकारक सीधे अक्षरों में अपनी रिक्ति के साथ जाते हैं; हिंदी के लिए babel कुछ नहीं बदलता, जबकि स्पेनी के लिए babel \lim, \max, \min और \inf पर बलाघात चिह्न लगाता है, \sen परिभाषित करता है और \sin को नहीं छूता, और es-minimal यह सब हटा देता है।

      उपयोग करती है: 6. पादांक और घातांक. आधार: D (चिह्न का वर्ग). सिद्ध किया गया: प्रतीक और संकेतन.

    4. परिसीमक. \left और \right जो घेरते हैं उसे मापते हैं और जोड़े में आते हैं; हाथ से चुने आकार बारीक नियंत्रण देते हैं; mathtools \abs जैसे जोड़े परिभाषित करता है।

      उपयोग करती है: 6. पादांक और घातांक. आधार: D (चिह्न का वर्ग), F (एक अवयव या एक समूह). सिद्ध किया गया: प्रतीक और संकेतन.

    5. प्रस्तावना में संकेतन. \R, \vect, \dd या \abs एक बार परिभाषित होते हैं; unicode-math, amsmath के बाद आता है, उसके पीछे amssymb के बिना, और गाढ़े रूप के लिए \symbf माँगता है।

      उपयोग करती है: 7. अक्षर और वर्णमालाएँ, 8. नामयुक्त संकारक, 9. परिसीमक. आधार: B (अपनी कमांडें), C (लोड करने का क्रम), E (जो बिना त्रुटि के गायब होता है). सिद्ध किया गया: प्रतीक और संकेतन.

  3. खंड 3 अनेक पंक्तियों वाले समीकरण

    • शृंखलाओं और निकायों को align से संरेखित करना, संबंध से पहले & के साथ।
    • तय करना कि किन पंक्तियों को क्रमांक मिले और क्रमांकों का पूर्वानुमान लगाना।
    • संरचना और समूह के क्रमांक के अनुसार परिवेश चुनना।
    • खंडशः परिभाषाएँ, आव्यूह और बीच में रखा पाठ टाइपसेट करना।

    1. align से संरेखण. & संबंध से पहले जाता है और \\ एक पंक्ति खोलता है; =& और फ़ालतू & बिना चेतावनी के परिणाम बदल देते हैं, और ख़ाली पंक्ति कंपाइलेशन रोक देती है।

      उपयोग करती है: 3. वाक्य में सूत्र. आधार: G (संरेखण एक सारणी है), D (चिह्न का वर्ग). सिद्ध किया गया: अनेक पंक्तियों वाले समीकरण.

    2. किन पंक्तियों को क्रमांक मिले. align हर पंक्ति को क्रमांक देता है, उस ख़ाली पंक्ति को भी जो अंतिम \\ छोड़ता है; \notag क्रमांक को ख़र्च किए बिना हटाता है, और उस पंक्ति पर रखा लेबल अगली क्रमांकित पंक्ति का क्रमांक दर्ज करता है।

      उपयोग करती है: 11. align से संरेखण, 4. क्रमांक और संदर्भ. आधार: G (संरेखण एक सारणी है), A (लेबल क्या दर्ज करता है). सिद्ध किया गया: अनेक पंक्तियों वाले समीकरण.

    3. समूह के लिए एक क्रमांक. equation के भीतर split शृंखला को एक क्रमांक देता है; aligned और gathered बिना क्रमांक के खंड हैं; subequations ऐसे समूह को अक्षर देता है जो केवल एक क्रमांक ख़र्च करता है।

      उपयोग करती है: 11. align से संरेखण, 12. किन पंक्तियों को क्रमांक मिले. आधार: A (लेबल क्या दर्ज करता है). सिद्ध किया गया: अनेक पंक्तियों वाले समीकरण.

    4. खंड, आव्यूह और पाठ. cases में दो स्तंभ हैं और वह फ़ालतू & को पंक्ति का अंत बना देता है; dcases प्रदर्शित आकार में टाइपसेट करता है; आव्यूह दस स्तंभ स्वीकार करते हैं; array रेखाएँ खींचता है; \intertext संरेखण नहीं तोड़ता।

      उपयोग करती है: 11. align से संरेखण. आधार: G (संरेखण एक सारणी है). सिद्ध किया गया: अनेक पंक्तियों वाले समीकरण.

  4. खंड 4 प्रमेय और उपपत्तियाँ

    • कथनों को उनकी शैली और उनके काउंटर के साथ घोषित करना।
    • साझा या अलग शृंखला के क्रमांकन का पूर्वानुमान लगाना।
    • उपपत्तियों को अपनी जगह पर रखे चिह्न के साथ बंद करना।
    • कथनों का संदर्भ उनके नाम के साथ देना।

    1. घोषित कथन. amsthm का \newtheorem, प्रस्तावना में, शीर्षक, क्रमांक और रूप तय करता है; शीर्षक लेखक द्वारा लिखा जाता है, और तारांकित रूप क्रमांक नहीं देता।

      आधार: B (अपनी कमांडें). सिद्ध किया गया: प्रमेय और उपपत्तियाँ.

    2. काउंटर और शैलियाँ. [thm] एक ही शृंखला बनाता है, जिसका क्रमांक स्थान बताता है; [section] या [chapter] विभाग के अनुसार क्रमांक देता है; plain, definition और remark उससे मेल खाते हैं जिसे कहा जाता है, जिसे निर्धारित किया जाता है या जो साथ चलता है।

      उपयोग करती है: 15. घोषित कथन. आधार: B (अपनी कमांडें). सिद्ध किया गया: प्रमेय और उपपत्तियाँ.

    3. उपपत्तियाँ. proof अपना शीर्षक babel से लेता है और अंतिम अनुच्छेद के अंत में वर्ग रखता है; यदि उपपत्ति सूत्र या सूची में समाप्त होती है, तो \qedhere वर्ग को उसकी जगह रखता है, क्रमांक के पास छोड़कर।

      उपयोग करती है: 15. घोषित कथन, 11. align से संरेखण. सिद्ध किया गया: प्रमेय और उपपत्तियाँ.

    4. कथनों का संदर्भ. लेबल परिवेश के भीतर जाता है; amsthm, cleveref से पहले लोड होता है, हर परिवेश के लिए एक \crefname के साथ; \newtheorem के साझा काउंटर के साथ सब कुछ “प्रमेय” कहलाता है, और thmtools इसे सुधारता है।

      उपयोग करती है: 16. काउंटर और शैलियाँ, 4. क्रमांक और संदर्भ. आधार: A (लेबल क्या दर्ज करता है), C (लोड करने का क्रम). सिद्ध किया गया: प्रमेय और उपपत्तियाँ.

  5. खंड 5 तर्कशास्त्र और निगमन

    • संकेतन में वस्तु-भाषा को अधिभाषा से अलग करना।
    • टिल्ड, खड़ी रेखा, कोलन और परिमाणकों की रिक्ति सुधारना।
    • प्रस्तावना से परंपरा बदलना।
    • निगमन-वृक्ष, सत्यता सारणियाँ और तर्क बनाना और उनकी त्रुटियाँ दूर करना।

    1. भाषा के दो स्तर. \to वस्तु-भाषा का संयोजक है और \Rightarrow अधिभाषा का तीर; \vdash निगमन का दावा करता है और \models अर्थगत परिणाम का।

      उपयोग करती है: 8. नामयुक्त संकारक. सिद्ध किया गया: तर्कशास्त्र और निगमन.

    2. तार्किक रिक्ति. \sim एक संबंध है और धनु कोष्ठकों में जाता है; कीबोर्ड की खड़ी रेखा साधारण चिह्न है और \mid संबंध; : संबंध है और \colon विराम चिह्न; परिमाणक की व्याप्ति कोष्ठक तय करता है।

      उपयोग करती है: 19. भाषा के दो स्तर, 5. बिंदु और अल्पविराम. आधार: D (चिह्न का वर्ग). सिद्ध किया गया: तर्कशास्त्र और निगमन.

    3. हर संयोजक के लिए एक कमांड. आर्गुमेंटों के बिना कमांड चिह्न को एक परंपरा से दूसरी में बदलती है; आर्गुमेंटों के साथ परिभाषा क्रम और कोष्ठक भी तय करती है, और पोलिश संकेतन संभव बनाती है।

      उपयोग करती है: 20. तार्किक रिक्ति, 10. प्रस्तावना में संकेतन. आधार: B (अपनी कमांडें), F (एक अवयव या एक समूह). सिद्ध किया गया: तर्कशास्त्र और निगमन.

    4. मोडल चिह्न और सत्यता सारणियाँ. \Box, \Diamond और \vDash को amssymb चाहिए, और पहले लोड किया गया latexsym समचतुर्भुज बदल देता है; सत्यता सारणी एक array है जिसमें T और F सीधे अक्षरों में हैं।

      उपयोग करती है: 19. भाषा के दो स्तर, 14. खंड, आव्यूह और पाठ. आधार: C (लोड करने का क्रम), G (संरेखण एक सारणी है). सिद्ध किया गया: तर्कशास्त्र और निगमन.

    5. निगमन-वृक्ष. bussproofs में \AxiomC एक पत्ता रखता है और अनुमान अंतिम वृक्ष उठाते हैं; यदि वृक्ष कम हों, तो “Hypotheses missing!”; यदि अधिक हों, तो छापते समय “Proof tree badly specified.”।

      उपयोग करती है: 19. भाषा के दो स्तर. आधार: H (वृक्षों का स्टैक). सिद्ध किया गया: तर्कशास्त्र और निगमन.

    6. बक्से और मानक रूप. logicproof, Fitch बक्सों को subproof वाली सारणी की तरह टाइपसेट करता है; मानक रूप का तर्क आधारवाक्यों को क्रमांक देता है और निष्कर्ष को एक रेखा और \therefore से अलग करता है।

      उपयोग करती है: 23. निगमन-वृक्ष, 22. मोडल चिह्न और सत्यता सारणियाँ. आधार: G (संरेखण एक सारणी है). सिद्ध किया गया: तर्कशास्त्र और निगमन.

सारणियों और चित्रों की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ सूत्र, कथन और निगमन पूरे और क्रमांकित हैं: सारणी, जिसने यहाँ केवल आव्यूहों, सत्यता सारणियों और उपपत्तियों की सेवा की, अगली इकाई में बढ़कर दस्तावेज़ की सारणियाँ और चित्र बन जाती है, अपने शीर्षकों, अपने क्रमांकों और पृष्ठ पर अपने स्थान के साथ।