Les entiers naturels et les axiomes de Peano

Les axiomes de Peano pour les entiers naturels

Les entiers naturels, aussi appelés entiers strictement positifs, sont ceux dont nous nous servons pour compter et pour mesurer. Ils apparaissent de la façon la plus naturelle dans l’opération de compter, la plus simple de l’arithmétique. On les définit au moyen des axiomes de Peano : on admet qu’il existe un ensemble, que l’on note $\mathbb{N}$ et dont les éléments s’appellent entiers naturels, muni d’un élément distingué, $1$, et d’une fonction $S$, appelée successeur, qui associe à chaque entier naturel $n$ un autre entier naturel $S(n)$, et que les cinq axiomes suivants sont vérifiés. Les notions d’ensemble, de fonction et de fonction injective qui y interviennent sont définies dans la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions.

1. $1$ est un entier naturel : $1 \in \mathbb{N}$.
2. $S$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ : si $n$ est un entier naturel, son successeur $S(n)$ en est un aussi.
3. $1$ n’est le successeur d’aucun entier naturel : $S(n) \neq 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
4. $S$ est injective : si $S(n) = S(m)$, alors $n = m$.
5. Si un ensemble $A$ d’entiers naturels contient $1$ et, pour tout $k$ de $A$, contient aussi $S(k)$, alors $A$ est l’ensemble de tous les entiers naturels : $A = \mathbb{N}$.

En étudiant les axiomes de Peano, nous remarquons que le symbole $1$ n’est qu’une représentation qui désigne un entier naturel déterminé : celui qui possède ces propriétés. De même que $1$ représente le premier entier naturel, nous utilisons des symboles qui nous sont familiers pour représenter ses successeurs :

Ainsi, les symboles $2, 3, 4, \ldots$ sont des entités abstraites qui représentent les successeurs successifs de $1$. La collection formée par $1$ et par tous ceux-ci est l’ensemble des entiers naturels :

On dit aussi que les entiers naturels se rangent en une suite, la suite des entiers naturels :