Οι τεχνικές της κλασικής λογικής

Οι κανόνες μέσα σε ένα πλαίσιο

Στο μάθημα για τα τυπικά παραγωγικά συστήματα ορίστηκε το σύστημα του Λουκασέβιτς: τα αξιωματικά σχήματα A1, A2 και A3, ο κανόνας modus ponens (MP) και η έννοια της παραγωγής από ένα σύνολο $\Gamma$ υποθέσεων, με τις πρώτες ιδιότητές της: την ανακλαστικότητα (Ανακλ: αν $\varphi \in \Gamma$, τότε $\Gamma \vdash \varphi$), τη μονοτονία (Μον: αν $\Gamma \subseteq \Delta$ και $\Gamma \vdash \varphi$, τότε $\Delta \vdash \varphi$), τον κανόνα της τομής (Τομή), τον modus ponens μεταξύ παραγωγών (αν $\Gamma \vdash \varphi$ και $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, τότε $\Gamma \vdash \psi$, που αναφέρεται επίσης ως MP), το θεώρημα της απαγωγής (ΘΑ: αν $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$, τότε $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$) και το αντίστροφό του (ΑΘΑ). Τα μαθήματα για τέσσερις τεχνικές παραγωγής και για τις συμμετρίες των συνδέσμων πρόσθεσαν τον υποθετικό συλλογισμό (ΥΣ), την εναλλαγή υποθέσεων (ΕΥ), τη διπλή άρνηση (ΔΑ), την αντιθετοαντιστροφή (ΑΑ) στις τρεις μορφές της, την αντικατάσταση ισοδυνάμων (Αντ), τις συμμετρίες (Συμ) και τις ισοδύναμες μορφές της διάζευξης και της σύζευξης. Το πρώτο από αυτά, αφού απέδειξε τη διπλή άρνηση, συμπλήρωσε επιπλέον το σύστημα του κύκλου μαθημάτων με έναν δεύτερο πρωταρχικό κανόνα, την αντικατάσταση της διπλής άρνησης (ΑΔΑ): αν ο $\chi'$ προκύπτει από τον $\chi$ αντικαθιστώντας μία εμφάνιση ενός υποτύπου $\theta$ με τον $\neg\neg\theta$, ή μία εμφάνιση του $\neg\neg\theta$ με τον $\theta$, από τον $\chi$ συνάγεται ο $\chi'$. Στο εξής, το $\vdash$ αναφέρεται σε αυτό το σύστημα (A1 έως A3, MP και ΑΔΑ), στο οποίο εξακολουθούν να ισχύουν η ανακλαστικότητα, η μονοτονία, η τομή, το θεώρημα της απαγωγής και το αντίστροφό του· οι τεχνικές αυτού του μαθήματος είναι παράγωγοι κανόνες του, αν και καμία από τις αποδείξεις τους δεν επικαλείται άμεσα την ΑΔΑ: ο κανόνας δρα μέσω των ισοδύναμων μορφών και της αντικατάστασης ισοδυνάμων, που το μάθημα για τις συμμετρίες απέδειξε με αυτόν.

Όμως, στα μαθηματικά κανείς δεν συλλογίζεται χωρίς υποθέσεις: συλλογίζεται κανείς από κάποια αξιώματα, από τις υποθέσεις ενός θεωρήματος και από ό,τι έχει υποτεθεί για να εξεταστεί μια περίπτωση. Αν αυτό ισχύει, μια τεχνική συλλογισμού είναι χρήσιμη μόνο αν διατυπώνεται με ένα σύνολο $\Gamma$ υποθέσεων που μεταφέρεται από γραμμή σε γραμμή. Έπεται ότι κάθε κανόνας αυτού του μαθήματος διατυπώνεται και αποδεικνύεται για ένα οποιοδήποτε $\Gamma$· η περίπτωση χωρίς υποθέσεις είναι η ειδική περίπτωση $\Gamma = \emptyset$, και όχι το αντίστροφο.

Οι αποδείξεις είναι παραγωγές για παραγωγές: κάθε γραμμή βεβαιώνει ότι κάτι είναι παραγώγιμο από ένα σύνολο, $\Gamma \vdash \varphi$, και η αιτιολόγησή της παραπέμπει σε προηγούμενες γραμμές. Σε αυτές, η «Υπόθεση» σημειώνει τις γραμμές που η διατύπωση του κανόνα θεωρεί δεδομένες, και το όνομα ενός αξιώματος (A1, A3) ή ενός θεωρήματος που έχει ήδη αποδειχθεί (όπως η Ταυτ, το θεώρημα $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$) σημειώνει μια γραμμή $\Gamma \vdash \varphi$ στην οποία ο $\varphi$ είναι στιγμιότυπο αυτού του σχήματος ή αυτού του θεωρήματος, παραγώγιμο από οποιοδήποτε σύνολο.

Το μάθημα για τις τέσσερις τεχνικές παραγωγής απέδειξε, με τη μονοτονία και την τομή, το λήμμα «από το αποτέλεσμα στον κανόνα», που κάνει δυνατό αυτόν τον τρόπο εργασίας: αν $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ και $\Gamma \vdash \alpha_{i}$ για κάθε $i$, τότε $\Gamma \vdash \beta$. Με $n = 1$, εφαρμοσμένο σε κάθε κατεύθυνση μιας ισοδυναμίας $\alpha \dashv\vdash \alpha'$, λέει ότι $\Gamma \vdash \alpha$ αν και μόνο αν $\Gamma \vdash \alpha'$. Επομένως, κάθε κανόνας που έχει ήδη αποδειχθεί και κάθε ισοδυναμία που έχει ήδη αποδειχθεί εφαρμόζονται στις γραμμές μιας παραγωγής με υποθέσεις: αν μια γραμμή λέει $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, η αντιθετοαντιστροφή επιτρέπει να γραφτεί από κάτω $\Gamma \vdash (\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$ και να αιτιολογηθεί με «ΑΑ» και τον αριθμό της γραμμής. Για τις δύο ισοδύναμες μορφές του μαθήματος για τις συμμετρίες, που θα χρησιμοποιούνται ακατάπαυστα, γράφεται «Ισ»:

Πρέπει να τονιστεί ότι η πρώτη από αυτές τις ισοδυναμίες δεν είναι ορισμός· η δεύτερη, όπως έδειξε το μάθημα για τις συμμετρίες, είναι ταυτότητα συμβολοσειρών, αλλά αναφέρεται ως Ισ μαζί με την πρώτη. Εξ ορισμού, ο $(\varphi \vee \psi)$ είναι ο $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ και ο $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ είναι ο $(\neg\neg\varphi \vee \psi)$, που είναι διαφορετικές συμβολοσειρές· η ανάγνωση της μιας ως της άλλης «εξ ορισμού της συνεπαγωγής» είναι το σφάλμα που αυτό το μάθημα αποφεύγει. Το «Ορ», αντίθετα, προορίζεται για να γραφτεί η ίδια συμβολοσειρά με άλλο όνομα, όπως όταν ο $(\varphi \rightarrow \psi)$ διαβάζεται ως $(\neg\varphi \vee \psi)$.