Οι ακέραιοι και η αναπαράστασή τους

Θεσιακά συστήματα αρίθμησης

Το μάθημα Μεταβλητές και μνήμη παρουσίασε τη μεταβλητή ως ένα κελί με όνομα, τύπο και τιμή. Όμως η μνήμη δεν αποθηκεύει δεκαδικά ψηφία: αποθηκεύει bit, καθένα από τα οποία έχει τιμή 0 ή 1, ομαδοποιημένα σε byte των οκτώ bit (το πρότυπο απαιτεί τουλάχιστον οκτώ· όλα τα σημερινά συστήματα χρησιμοποιούν ακριβώς οκτώ). Για να ξέρουμε ποιες τιμές μπορεί να πάρει μια ακέραια μεταβλητή πρέπει, επομένως, να ξέρουμε πώς γράφεται ένας αριθμός με δύο μόνο ψηφία, και αυτό ακριβώς κάνει ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης με βάση 2.

Σε ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης με βάση $b$, κάθε ψηφίο αξίζει ανάλογα με τη θέση που κατέχει: το τελευταίο πολλαπλασιάζεται επί $b^0 = 1$, το ψηφίο πριν από αυτό επί $b^1$, το πριν από εκείνο επί $b^2$, και ούτω καθεξής. Στη βάση 10, το $2026$ σημαίνει $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$. Στη βάση 2 τα ψηφία είναι 0 και 1, και τα βάρη είναι οι δυνάμεις του 2: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$ Από αυτό έπεται ο κανόνας για τη μετάβαση από το δυαδικό στο δεκαδικό: προσθέτουμε τα βάρη των θέσεων όπου υπάρχει 1.

Τον αντίστροφο δρόμο, από το δεκαδικό στο δυαδικό, τον διανύουμε με διαδοχικές διαιρέσεις: διαιρούμε τον αριθμό με το 2, σημειώνουμε το υπόλοιπο (0 ή 1) και επαναλαμβάνουμε με το πηλίκο ώσπου να φτάσουμε στο 0· τα υπόλοιπα, διαβασμένα από το τελευταίο προς το πρώτο, είναι τα δυαδικά ψηφία. Για το 45: $45 = 2 \cdot 22 + 1$, $22 = 2 \cdot 11 + 0$, $11 = 2 \cdot 5 + 1$, $5 = 2 \cdot 2 + 1$, $2 = 2 \cdot 1 + 0$, $1 = 2 \cdot 0 + 1$· διαβασμένα ανάποδα, τα υπόλοιπα δίνουν 101101, που με δύο μηδενικά στα αριστερά είναι ο συνδυασμός του σχήματος. Ο λόγος είναι ότι κάθε υπόλοιπο είναι το ψηφίο των μονάδων του αριθμού που διαιρείται, και κάθε πηλίκο είναι αυτός ο αριθμός μετατοπισμένος κατά μία θέση προς τα δεξιά. Η ίδια μέθοδος ισχύει για οποιαδήποτε βάση: για τη βάση 16 διαιρούμε με το 16, και τα υπόλοιπα από 10 έως 15 γράφονται με τα γράμματα a έως f.

Η βάση 16, ή δεκαεξαδικό σύστημα, υπάρχει για ευκολία: αφού $16 = 2^4$, κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί ακριβώς σε τέσσερα bit, και ένα byte γράφεται με δύο ψηφία. Ένας αριθμός 32 bit πιάνει τριάντα δύο ψηφία στο δυαδικό, που διαβάζονται δύσκολα, και μόνο οκτώ στο δεκαεξαδικό, που μετατρέπονται σε δυαδικό χωρίς υπολογισμό, ψηφίο προς ψηφίο. Γι’ αυτό οι προγραμματιστές διαβάζουν τη μνήμη στο δεκαεξαδικό. Η μαθηματική θεμελίωση των θεσιακών συστημάτων μελετάται στον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I, στο μάθημα «Θεσιακά συστήματα αρίθμησης».

Η C++ δέχεται ακεραίους γραμμένους απευθείας σε αυτές τις βάσεις: μια σταθερά (literal) που αρχίζει με 0b είναι στο δυαδικό, και μια που αρχίζει με 0x, στο δεκαεξαδικό. Μέσα σε οποιαδήποτε σταθερά μπορεί να μπει μια απόστροφος ως διαχωριστικό ψηφίων, που ο μεταγλωττιστής την αγνοεί και ο αναγνώστης την εκτιμά: 0b0010'1101, 1'000'000. Στην έξοδο, η προδιαγραφή μορφής {:b} γράφει έναν ακέραιο στο δυαδικό, η {:x} στο δεκαεξαδικό με πεζά και η {:X} με κεφαλαία· το σύμβολο # προτάσσει το πρόθεμα, και ένα πλάτος με ένα μηδέν μπροστά του γεμίζει με μηδενικά στα αριστερά.

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("δυαδικό: {:b}", decimal);    std::println("οκτώ bit: {:08b}", decimal);    std::println("δεκαεξαδικό: {:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45δυαδικό: 101101οκτώ bit: 00101101δεκαεξαδικό: 2d 2D 0x2d